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Ich habe eine Frage zum Grenzwert für:
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^3} (1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + ... + [mm] n^2)
[/mm]
Richtig ist wohl: [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^3} \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
warum aber nicht: [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1^2}{n^3} [/mm] + [mm] \bruch{2^2}{n^3} [/mm] + ... + [mm] \bruch{n^2}{n^3})
[/mm]
und jetzt geht jeder Grenzwert gegen Null also das ganze auch gegen 0.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Ich habe eine Frage zum Grenzwert für:
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^3} (1^2[/mm] + [mm]2^2[/mm] + ... +
> [mm]n^2)[/mm]
>
> Richtig ist wohl: [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^3} \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
das ist o.k. Dabei kannst du dich auf bewiesene "Grenzwertsätze " berufen
> warum aber nicht: [mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{1^2}{n^3}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^2}{n^3}[/mm] + ... + [mm]\bruch{n^2}{n^3})[/mm]
>
> und jetzt geht jeder Grenzwert gegen Null also das ganze
> auch gegen 0.
Hier geht aber auch die Anzahl der Summanden gegen unendlich. [mm] "0*\infty [/mm] " ist immer problematisch und auf alle Fälle zu vermeiden. Man kann Terme mit nahezu jedem gewünschten Ergebnis konstruieren.
Gruß korbinian
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Vielen Dank für deine Antwort Korbinian.
Ich verstehe trotzdem noch nicht wo genau der Fehler in der 2ten Variante liegt? Darf ich das [mm] \bruch{1}{n^3} [/mm] nicht reinmultiplizieren oder kann man bei der unendlichen Anzahl an Summanden nicht einfach sagen jeder geht gegen Null und deswegen geht das Ganze gegen Null? Wenn ja, warum nicht?
Gruß Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 02.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo Bandicoot2k,
Reinmultiplizieren darfst dus schon, aber der Schluss über den Grenzwert ist dann falsch.
Nicht genau die Aufgabe, aber vielleicht doch erhellend/klärend:
[mm]\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}[/mm]
Der Term sieht ja in etwa so aus wie deiner nach dem Kürzen.
Das interessante daran ist aber, dass die Summe nicht konvergiert. Man meint es zwar, da der Term in der Summe gegen Null geht, jedoch zu langsam.
Man kann zeigen das die Reihe überalle Schranken wächst indem man mehere Gleider zusammenfasst die jeweils größer als [mm] \frac{1}{2} [/mm] sind (gib da sicher mehrere Möglichkeiten, aber das ist zumindest mal eine).
Man wird hier also von der Intuition getäuscht.
Dass der Term der in der Summe steht eine Nullfolge ist, ist also zwar ein notwendiges (man kann also ausschließen das die Reihe konvergiert wenn es nicht so ist), aber wie man an dem Bsp sieht kein ausreichendes/hinreichendes Kriterium.
Hoffe das beantwortet deine Frage zumindest teilweise :)
Grüße Mumrel
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Dann ist also der Schluss falsch dass das Ganze gegen Null strebt nur weil jeder meiner unendlich vielen Summanden für sich gegen Null strebt. Interessante Sache, danke euch nochmal!
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