Grenzwert einer Matrix gesucht < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Zu berechnen ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{k} [/mm] i [mm] \pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-i} \vektor{0 \\ h^2} [/mm] wobei h=x/k gilt. |
Hallo,
habe leider überhaupt keine Idee, wie ich den Grenzwert berechnen kann. Weiß nur das in der Lösung was mit -sin(x)+x auftauchen muss...
Bei Matrizen diagonalisiert man ja normalerweise und kann dann recht leicht Grenzwerte bestimmen. Aber hier steht ja noch die Summe und der Laufindex i im Exponenten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hat niemand eine Idee, wie ich die Aufgabe angehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Do 08.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu berechnen ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{k}[/mm]
> i [mm]\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-i} \vektor{0 \\ h^2}[/mm] wobei
> h=x/k gilt.
>
> Hallo,
>
> habe leider überhaupt keine Idee, wie ich den Grenzwert
> berechnen kann. Weiß nur das in der Lösung was mit
> -sin(x)+x auftauchen muss...
>
> Bei Matrizen diagonalisiert man ja normalerweise und kann
> dann recht leicht Grenzwerte bestimmen. Aber hier steht ja
> noch die Summe und der Laufindex i im Exponenten.
Sei $A = [mm] \pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }$. [/mm] Falls [mm] $P^{-1} [/mm] A P = D$ eine Diagonalmatrix ist, so ist $A = P D [mm] P^{-1}$ [/mm] und [mm] $A^{k-i} [/mm] = P [mm] D^{k-i} P^{-1}$. [/mm] Nun kannst du [mm] $P^{-1} \vektor{0\\h^2}$ [/mm] explizit ausrechnen und ebenso [mm] $D^{k-i}$, [/mm] und damit auch $i [mm] A^{k-i} \vektor{0\\h^2}$: [/mm] das Ergebnis ist ein Vektor mit zwei Komponenten.
Bei diesen Komponenten kannst du jetzt die Summe reinziehen und jeweils explizit den Grenzwert berechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Do 08.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Dann erhalte ich (habe i jetzt j genannt, damit man nicht mit der imaginären Einheit durcheinander kommt)
[mm] \summe_{j=0}^{n} [/mm] j [mm] \vektor{-1/2ih^2(1+ih)^{k-j}+0,5ih^2(1-ih)^{k-j} \\ 1/2h^2(1+ih)^{k-j}+0,5h^2(1-ih)^{k-j} }[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 08.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo kommt denn das imaginäre i her? was ist dein P und D
dier Vektor ist sicher reell
Gruß ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Do 08.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Danke für eure Hilfe, konnte es jetzt lösen.
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