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Hallo,
ich habe hier die Funktion: [mm] \bruch{ln(1+2x)-2x*exp(-x)}{x^3}
[/mm]
Davon soll jetzt den [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} [/mm] dieser Funktion berechnet werden.
Ich habe versucht die Funktion umzuformen, kann aber dennoch nicht das x aus dem Nenner verschwinden lassen:
[mm] \bruch{ln(1+2x)-2x*exp(-x)}{x^3} [/mm] = [mm] \bruch{ln(1+2x)}{x^3} [/mm] - [mm] \bruch{2x*exp(x)}{x^3} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}}{x^3} [/mm] + [mm] \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} * x^n}{x^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^4}{4}+-...}{x^3} [/mm] - [mm] \bruch{2(1-x+\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^4}{24}-+...)}{x^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{2x}+\bruch{1}{3}-\bruch{x}{4}+-... [/mm] - [mm] 2(\bruch{1}{x^3}-\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{2x}-\bruch{1}{6}+\bruch{x}{24}-+...)
[/mm]
Ich weiß nicht, ob ich bei der Umformung Fehler gemacht habe. Aber in der Form kann ich den Limes nicht berechnen.
Ich freue mich über hilfreiche Tipps von euch. Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich bist du fertig. (beim zweiten Teil hast du den Faktor x vergessen
wenn du jetzt x gegen 0 gehen lässt, was kommt denn raus, nachdem du die 2 Reihen zusammengefasst hast?
Gruss leduart
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Aber im Nenner steht doch noch x, ich dachte, solang dies der Fall ist, darf man den Grenzwert nicht einsetzen. Falls dies doch ginge, käme [mm] \bruch{2}{3} [/mm] heraus. Aber der Grenzwert soll [mm] \bruch{5}{3} [/mm] sein. Ich komme da echt nicht drauf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei der Reihe für ln(1+2x) hast du x statt 2x eingesetzt. ich denke wenn du alle Reihen richtig machst sollten sich die Teile mit x im Nenner wegheben.
(wenn man richtig gerechnet hat, und x im nenner überbleibt divergiert die Reihe.
Gruss leduart
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