Grenzwert einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 02.03.2005 | | Autor: | GrJoker |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich bin gerade ein bisschen am verzweifeln und hoffe mir kann einer helfen.
Es geht um folgenden Grenzwert.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2x-1}{x})[/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2-\bruch{1}{x})[/mm] = 2
wie kommen die bloß auf die 2??
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Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2x-1}{x})[/mm]
sollte das nicht [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{2x-1}{x})[/mm] heißen?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2-\bruch{1}{x})[/mm] = 2
> wie kommen die bloß auf die 2??
Wenn jetzt $x$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht, geht der Ausdruck [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] gegen 0. Also somit der gesamte Ausdruck gegen den Grenzwert 2.
Gruß
Royalbuds
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 02.03.2005 | | Autor: | GrJoker |
Das war ein Tippfehler. Aber zu meinem Verständniss hat die Antwort leider nicht beigetragen. Das liegt aber wohl eher an dem blöden Beispiel was ich genommen habe. Deshalb hab ich noch eine Frage.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^2-1)^3(2n+1)^4}{(2n^3+1)^3(1-2n)}[/mm] = [mm]\bruch{1^3*2^4}{2^3(-2)}[/mm]
wie kommen die da drauf? wo bleibt das n?
Vielen dank im vorraus für die Gedult und Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Max |
Hi GrJoker,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^2-1)^3(2n+1)^4}{(2n^3+1)^3(1-2n)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1^3*2^4}{2^3(-2)}[/mm]
>
> wie kommen die da drauf? wo bleibt das n?
Also, ich arbeite zuerstmal nur mit dem Term $ [mm] \bruch{(n^2-1)^3(2n+1)^4}{(2n^3+1)^3(1-2n)}$, [/mm] den Grenzwert bestimmen wir später...
Wenn du diesen Bruch kürzt und zwar mit [mm] $n^{10}$ [/mm] gilt:
$ [mm] \bruch{(n^2-1)^3(2n+1)^4}{(2n^3+1)^3(1-2n)}=\bruch{\frac{1}{n^{10}}\cdot(n^2-1)^3(2n+1)^4}{\frac{1}{n^{10}}\cdot(2n^3+1)^3(1-2n)}=\frac{\frac{1}{n^6}\left(n^2-1\right)^3 \cdot \frac{1}{n^4}(2n+1)^4}{\frac{1}{n^9}\left(2n^3+1\right)^3 \cdot \frac{1}{n}(1-2n)}=\frac{\left(\frac{1}{n^2}\right)^3\left(n^2-1\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^4(2n+1)^4}{\left(\frac{1}{n^3}\right)^3\left(2n^3+1\right)^3 \cdot \frac{1}{n}(1-2n)}= \frac{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^3 \left(2+\frac{1}{n}\right)^4}{\left(2+\frac{1}{n^3}\right)^3\left(\frac{1}{n}-2\right)}$
[/mm]
Betrachtet man jetzt $n [mm] \to \infty$ [/mm] entstehen in den Klammern jeweils Nullfolgen, so dass gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^3 \left(2+\frac{1}{n}\right)^4}{\left(2+\frac{1}{n^3}\right)^3\left(\frac{1}{n}-2\right)}= \frac{(1-0)^3(2+0)^4}{(2+0)^3(0-2)}=\frac{1^3 \cdot 2^4}{2^3 \cdot (-2)}=-1$
[/mm]
Ich hoffe mal das macht es etwas verständlicher - dein Beispiel ist natürlich auch hammerhart ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mi 02.03.2005 | | Autor: | GrJoker |
Ja danke. Jetzt jetzt weiß ich wenigstens das ich die Prüfung nächste Woche nicht mitschreibe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 03.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Da bei gebrochen rat. Funktionen im Zähler und im Nenner stets nur der höchste Exponent für den Grenzwert relevant ist, vereinfacht sich der Asudruck zu
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^6*2^4n^4}{2^3n^9(-2n)}
[/mm]
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Hallo GrJoker
 fast möchte man den Namen wörtlich nehmen
das $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] ist wohl ein Tippfehler
und für $x [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] geht 1/x -> 0,
bleibt also nur 2 . ( der Grenzwert einer endlichen
Anzahl Summanden ist gleich der Summe der Grenzwerte
der Summanden )
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