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| Aufgabe | Für x Element R bezeichne die Gauß-Klammer:= [a] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Zeigen SIe:
fn(x)----->x für n gegen Unendlich.
fn(x)= (1/n)*[nx]
Hoffe die Aufgabenstellung ist verständlich. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage ist nun wie zeige ich es. Ich habe versucht zu zeigen, dass der Grenzwert von fn(x)-gn(x) = 0 ist, woraus ja folgen würde, dass die Aussage korrekt wäre. ( gn(x) = (1/n)*(nx) bzw einfach = x.
Mir ist klar was beliebig grosse n mit der Funktion machen und auch das sie sich halt der Winkelhalbierenden annähert. Daher kam ich auf die Idee mit dem grenzwert der Differenzfunktion.
Würde mich über jeden Denkanstoss freuen. Das grösste Problem was ich wohl habe ist der Umgang mit dem n in der Gauß-Klammer bzw der wohlmöglich triviale Beweis, dass der Grenzwert x ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Di 06.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für x Element R bezeichne die Gauß-Klammer:= [a] die
> größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Zeigen SIe:
>
> fn(x)----->x für n gegen Unendlich.
>
> fn(x)= (1/n)*[nx]
>
> Hoffe die Aufgabenstellung ist verständlich.
ja, aber Du darfst Latex bzw. den Formeleditor benutzen, dann ist das
wesentlich schöner zu sehen:
[mm] $f_n(x)=\frac{1}{n}*[n*x]\,.$
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Frage ist nun wie zeige ich es. Ich habe versucht zu
> zeigen, dass der Grenzwert von fn(x)-gn(x) = 0 ist,
Was ist gn (Du meinst [mm] $g_n$) [/mm] denn da überhaupt?
> woraus
> ja folgen würde, dass die Aussage korrekt wäre.
Naja, Du formulierst nur nochmal die Aufgabenstellung äquivalent um...
> ( gn(x) = (1/n)*(nx) bzw einfach = x. )
Ah, okay, Du lieferst es nach!
> Mir ist klar was beliebig grosse n mit der Funktion machen
> und auch das sie sich halt der Winkelhalbierenden
> annähert. Daher kam ich auf die Idee mit dem grenzwert der
> Differenzfunktion.
>
> Würde mich über jeden Denkanstoss freuen. Das grösste
> Problem was ich wohl habe ist der Umgang mit dem n in der
> Gauß-Klammer bzw der wohlmöglich triviale Beweis, dass
> der Grenzwert x ist.
Deine Idee ist schon gut: Um
[mm] $f_n(x) \to [/mm] x$
zu zeigen, ist es hinreichend,
[mm] $f_n(x)-x \to [/mm] 0$
nachzuweisen (Du könntest auch [mm] $|f_n(x)-x| \to [/mm] 0$ zeigen).
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $f_n(x)-x=\frac{1}{n}*[n*x]-\frac{1}{n}*(n*x)=\frac{1}{n}*\{[nx]-nx\}\,.$
[/mm]
Nun ist aber der Term [mm] $[nx]-nx\,$ [/mm] beschränkt, genauer gilt etwa
$-1 [mm] \le [/mm] [nx]-nx [mm] \le 1\,$ [/mm] (man kann auch überall [mm] $<\,$ [/mm] schreiben, wenn man will).
Ist Dir das klar? (Setze [mm] $r:=r(n,x):=nx\,,$ [/mm] dann ist $-1 [mm] \le [/mm] [r]-r [mm] \le r\,,$ [/mm] denn letztstehende
Ungleichung gilt sogar für alle reellen Zahlen [mm] $r\,$!)
[/mm]
Es folgt
[mm] $\frac{-1}{n}$ $\le$ $\frac{[nx]-nx}{n}$ $\le$ $\frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Was passiert nun bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Erst einmal ein großes Dankeschön für die schnelle Hilfe.
Ja nach einigen Überlegungen ist mir das klar, genau diese Ungleichungen haben mir gefehlt. Das mit dem abschätzen muss ich echt noch üben.
Für n gegen Unendlich ergibt sich nun also 0 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0 .
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Die Frage ist natürlich beantwortet, doch wie kann ich den Status auf beantwortet ändern ?
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Ich habe bei meiner Lösung geschrieben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (fn-gn)(x) = 0
weil [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/n) [/mm] = 0 und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[ nx \right] [/mm] - nx = Element (-1,1)
weil für [mm] \left[ nx \right] [/mm] - nx gilt:
-1 [mm] \le \left[ nx \right] [/mm] -nx [mm] \le [/mm] 1.
So ist doch vernünftig oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 06.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe bei meiner Lösung geschrieben:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (fn-gn)(x) = 0
>
> weil [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1/n)[/mm] = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left[ nx \right][/mm] - nx = Element
> (-1,1)
Du meinst: Es gilt $[nx]-nx [mm] \in [/mm] (-1,1)$ für alle n und alle x.
>
> weil für [mm]\left[ nx \right][/mm] - nx gilt:
> -1 [mm]\le \left[ nx \right][/mm] -nx [mm]\le[/mm] 1.
>
> So ist doch vernünftig oder ?
Naja, irgendwie ist das *unsortiert*. Man schreibt das etwa so auf:
Da für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] und alle reellen [mm] $x\,$
[/mm]
[mm] $-\frac{1}{n}$ $\le$ $\frac{[nx]-nx}{n}=f_n(x)-x$ $\le$ $\frac{1}{n}$
[/mm]
gilt, folgt nach dem ![[]](/images/popup.gif) Einschließungskriterium (Satz 5.7)
wegen [mm] $\pm \frac{1}{n} \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] sofort...? (Jetzt Du nochmal!)
P.S. Natürlich hast Du [mm] $\lim_{n \to \infty}1/n=0$ [/mm] schonmal erwähnt, aber dann
schreibe zur Sicherheit lieber doch [mm] $\lim_{n \to \infty} \pm [/mm] 1/n=0$ an der Stelle.
Nicht, dass ein Korrekteur bemängelt, dass Du ja nichts über die Folge
[mm] $(-1/n)_n$ [/mm] gesagt hättest. 
Gruß,
Marcel
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Naja dann folgt sofort, dass bn ebenfalls konvergiert. In unserem Fall gegen 0. Bevor ich aber deine letzte Ungleichung aufschreiben kann, muss ich vorher erwähnen, dass -1 [mm] \le [/mm] [nx] - nx [mm] \le [/mm] 1 gilt oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 06.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja dann folgt sofort, dass bn ebenfalls konvergiert. In
> unserem Fall gegen 0.
(Nochmal: Wegen [mm] $a_n=-1/n \to [/mm] 0$ und [mm] $c_n=1/n \to [/mm] 0$.)
> Bevor ich aber deine letzte
> Ungleichung aufschreiben kann, muss ich vorher erwähnen,
> dass -1 [mm]\le[/mm] [nx] - nx [mm]\le[/mm] 1 gilt oder?
Ja, das solltest Du.
Gruß,
Marcel
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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