Grenzwert einer Folge (sin) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Fr 09.06.2006 | | Autor: | joshua85 |
| Aufgabe | Es sei r [mm] \in \IR [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] r < 1, [mm] \phi\in[0,2\pi[, [/mm] sowie [mm] n\in\IN. [/mm] Entscheiden Sie, ob diese Folge für n --> [mm] \infty [/mm] konvergiert und berechnen sie ggf. den Grenzwert.
[mm] y_{n}= r\*sin(\phi)+ r^{2}\*sin (2\phi)+...+r^{n}\*sin (n\phi) [/mm] |
Finde nichtmal den Ansatz...
Habe zwar schon an die additionstheoreme gedacht und evtl den Binomischen Lehrsatz, aber da man ja irgendwie beides anwenden müßte, hab ich es nicht auf die Reihe gebracht. Hat jemand ideen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Fr 09.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Die Folge, die du da hast, ist eine spezielle Folge, nämlich eine Reihe:
[mm] \sum_{i=1}^{\infty}r^{i}*\sin(i*\phi).
[/mm]
Die kannst du folgendermaßen abschätzen:
Aus [mm] |\sin\alpha|\le [/mm] 1 [mm] \forall \alpha\in\IR, [/mm] folgt dass die Reihe
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} |r^{i}| [/mm] eine konvergente (geometrische Reihe; |r| kleiner 1) Majorante von [mm] \sum_{i=1}^{\infty}|r^{i}*\sin(i*\phi)| [/mm] ist, woraus die absolute Konvergenz folgt, also auch die bedingte.
Zum Ausrechnen des Grenzwertes folgender Tipp:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} a^{k}=\bruch{1}{1-a} [/mm] für |a|<1.
Gruß,
dormant
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