Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Lisa-88 |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch Nachweis der Monotonie und der Beschränktheit,dass die Folge (an) konvergent ist.Stellen Sie eine Vermutung über ihren Grenzwert auf und bestätigen Sie diese.
[mm] an=n/(n^2+1) [/mm] |
Meine Vermutung ist,dass die Folge gegen Null läuft,da der Nenner immer größer ist als der Zähler,und somit das Ergebnis immer kleiner wird.
Daher ist sie auch streng monoton fallend.
Ich vermute auch,dass die obere Schranke 0,5 ist,denn wenn man das kleinste n eingibt,ist das Ergebnis 0,5.
Ich weiß aber nicht,wie ich beweisen kann,dass diese Dinge stimmen und wie man beweisen kann,dass diese Folge konvergent ist.
Könnt ihr mit dieses bitte ganz genau und wie für einen Laien erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
deine Vermutungen sind richtig!
zur Monotonie:
streng monoton fallend: Nachweis mit [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{n}{n^2+1} [/mm] > [mm] \bruch{n+1}{(n+1)^2+1}
[/mm]
...
Umformungen (multiplizieren mit Hauptnenner, führt zu einer wahren Aussage:
[mm] n^2+n [/mm] > 1
Eine streng monoton fallende Folge hat als obere Schranke das erste Glied also [mm] a_{1}= [/mm] 0,5.
k=-1 wäre eine untere Schranke, denn alle Folgeglieder werden niemals negativ. Also ist die Folge beschränkt (denn obere UND untere Schranke).
Es gibt den plausiblen Satz, dass jede monotone und beschränkte Folge auch einen Grenzwert haben muss, also konvergent ist.
Dass die grösste untere Schranke und damit der Grenzwert 0 ist, kann gezeigt werden durch: Vermutung g=0. Beweis:
[mm] |a_{n} [/mm] - [mm] g|<\varepsilon [/mm] wobei: [mm] \varepsilon [/mm] beliebige Zahl grösser Null
[mm] |\bruch{n}{n^2+1} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm]
Betragsstriche weglassen, da positives Inneres
[mm] \bruch{n}{n^2+1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
umstellen
[mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < [mm] \bruch{n^2+1}{n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < n + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Fertig, denn für jedes [mm] \varepsilon [/mm] lässt sich ein n finden, so dass die Ungleichung erfüllt ist.
Anschaulich erklärt: wird ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] gewählt z.B. 0,01, so kann man eine Indexzahl n ausrechnen, ab der alle Folgeglieder in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] des Grenzwertes liegen.
Für [mm] \varepsilon=0,01 [/mm] würde sich n=100 ergeben
Nur abzählbar viele Glieder (hier 99) der Folge liegen außerhalb dieser [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung.
Je kleiner man das [mm] \varepsilon [/mm] wählt, desto mehr Glieder liegen natürlich ausserhalb, aber immer abzählbar viele.
Ich hoffe, es war verständlich!?
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