Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] $y_n=(1-\bruch{1}{7n})^{n+2}. [/mm] |
Hallo,
mir fehlt der letzte, schwerere Schritt bei dieser Grenzwertberechnung.
Was ich habe ist:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{7n}=0$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{7n})^2=1$
[/mm]
Aber wie berechne ich den Grenzwert von [mm] $\lim_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{7n})^n$?
[/mm]
Ich hab den Term umgeformt in [mm] $(\bruch{7n-1}{7n})^n$, [/mm] aber da bleibe ich stecken, mir fällt keine weitere Umformung ein, wo ich den Grenzwert jetzt "besser sehen" könnte.
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Sa 02.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Manu!
Was weißt du über die Exponentialfunktion? 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
In diesem Moment wollte ich schreiben:
Was weißt du über den Grenzwert
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})^n$
[/mm]
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
der Grenzwert davon ist [mm] e^{-1}, [/mm] soweit ich informiert bin.
Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
ich weiß leider nicht genau, worauf du hinaus willst. Vllt, dass die Log-Fkt. die Umkehrfunktion ist?
Sonst weiß ich nur, dass die Exponentialfunktion exponentiell wächst :D
Aber mehr fällt mir leider gerad nicht ein.
Gruß Manu
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Hiho,
du solltest wissen, dass gilt:
[mm] $e^{-1} [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}\left(1-\bruch{1}{k}\right)^k$
[/mm]
ohne dieses Wissen ist die Aufgabe nicht zu lösen.
Daher gehe ich mal davon aus, dass du das wissen sollltest!
Forme also so um, dass du einen Ausdruck obiger Form erhälst mit $k=7n$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> du solltest wissen, dass gilt:
>
> [mm]e^{-1} = \lim_{k\to\infty}\left(1-\bruch{1}{k}\right)^k[/mm]
>
> ohne dieses Wissen ist die Aufgabe nicht zu lösen.
na, okay, man muss sich dieses Wissen eventuell herleiten mit dem Wissen,
dass [mm] $(1+1/n)^n \to [/mm] e$ - folgende Umformungen helfen:
[mm] $(1-1/k)^k=(\tfrac{k-1}{k})^k=\left(\frac{1}{\frac{k}{k-1}}\right)^k=\left(\frac{1}{\tfrac{k-1+1}{k-1}}\right)^k=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k-1}\right)^{k-1}}*\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k-1}\right)}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 02.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Wegen
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC
[/mm]
ist
[mm] $y_n=\left(1-\frac{1}{7n}\right)^{n+2}\overset{z:=-\frac{1}{7}}{=}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n}*\left(1+\frac{z}{n}\right)*\left(1+\frac{z}{n}\right)\overset{\text{Grenzwertsatz}}{\to} e^z*1*1=e^{-\frac{1}{7}}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber wie berechne ich den Grenzwert von [mm]\lim_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{7n})^n[/mm]?
es gilt
[mm] $(1-\frac{1}{7n})^n=\sqrt[7]{(1-\frac{1}{7n})^{\red{7}n}}$
[/mm]
Jetzt nutze Gonos Hinweis und die Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \sqrt[7]{x}$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$).
P.S. Weitere Erinnerung: Konvergiert [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,,$ [/mm] so konvergiert auch
jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
vielen Dank erstmal für die ausführlichen Hinweise. Also [mm] $\lim_{k \to \infty} (1-\bruch{1}{k})^k=e^{-1}$ [/mm] war mir bekannt, aber wie ich meine gegebene Aufgabe so umforme, war mir unklar.
Dank eurer Hilfe hab ichs jetzt, denk ich:
[mm] $(1-\bruch{1}{7n})^n=\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{7n})^{7n}}$ [/mm] und wenn ich jetzt k=7n setze habe ich [mm] $\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{k})^{k}}$ [/mm] und der Grenzwert dafür ist dann [mm] $\wurzel[7]{e^{-1}}$. [/mm]
Ist das so korrekt?
Vielen Dank!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 02.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen Dank erstmal für die ausführlichen Hinweise. Also
> [mm]\lim_{k \to \infty} (1-\bruch{1}{k})^k=e^{-1}[/mm] war mir
> bekannt, aber wie ich meine gegebene Aufgabe so umforme,
> war mir unklar.
> Dank eurer Hilfe hab ichs jetzt, denk ich:
> [mm](1-\bruch{1}{7n})^n=\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{7n})^{7n}}[/mm] und
> wenn ich jetzt k=7n setze habe ich
> [mm]\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{k})^{k}}[/mm] und der Grenzwert dafür
> ist dann [mm]\wurzel[7]{e^{-1}}[/mm].
> Ist das so korrekt?
Ja
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Manu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manu,
> Hallo,
>
> vielen Dank erstmal für die ausführlichen Hinweise. Also
> [mm]\lim_{k \to \infty} (1-\bruch{1}{k})^k=e^{-1}[/mm] war mir
> bekannt, aber wie ich meine gegebene Aufgabe so umforme,
> war mir unklar.
> Dank eurer Hilfe hab ichs jetzt, denk ich:
> [mm](1-\bruch{1}{7n})^n=\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{7n})^{7n}}[/mm] und
> wenn ich jetzt k=7n setze habe ich
> [mm]\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{k})^{k}}[/mm] und der Grenzwert dafür
> ist dann [mm]\wurzel[7]{e^{-1}}[/mm].
> Ist das so korrekt?
ich würde aber ein bisschen aufpassen, wie ich argumentiere: Weil [mm] $((1-1/n)^n)_n$ [/mm] gegen
[mm] $1/e=e^{-1}$ [/mm] strebt, strebt auch
[mm] $((1-1/(7k))^{7k})_k$ [/mm]
(wenn Du eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] hast, ist dass die Teilfolge [mm] $(a_{7k})_k$...)
[/mm]
gegen $1/e$ (daher der Hinweis mit der Teilfolge).
Wegen
[mm] $(1-1/(7n))^n=\sqrt[7]{(1-1/(7n))^{7n}}$
[/mm]
und der Stetigkeit "der [mm] $\sqrt[7]{\cdot}$-Funktion" [/mm] folgt...
Gruß,
Marcel
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