Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm] {a_n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] .
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{(n+2)^{\frac{3}{2}}-(n+1)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{n}} [/mm] |
Hi all,
könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein, da ich einfach nicht drauf komme wie man das am besten umformt um davon den Grenzwert zu bestimmen. Danke
viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo superman_87x, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das sieht in der Tat ungemütlich aus. Der Grenzwert ist 1,5 - nur: wie kommt man drauf?
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm]{a_n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm].
>
> [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\frac{(n+2)^{\frac{3}{2}}-(n+1)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{n}}[/mm]
Hier gibts keinen "Standardtrick". Trotzdem ist der Zähler schonmal doof. Wurzeln subtrahiert man nicht gern. Insofern vielleicht doch Standard: so erweitern, dass man die dritte binomische Formel anwenden kann, also mit [mm] \wurzel{(n+2)^3}+\wurzel{(n+1)^3}.
[/mm]
Danach ist der Zähler zwar übersichtlicher, aber der Nenner doof. Im Zähler ist die höchste Potenz dann [mm] n^2, [/mm] im Nenner steht, ganz der Jahreszeit entsprechend, Wurzelgemüse.
Trotzdem macht es Sinn, [mm] n^2 [/mm] aus Zähler und Nenner auszuklammern. Und dann...
Mach doch mal. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Also ich habe mal versucht das zu erweitern, so das der Zähler zum 3.Binom wird.
Letzendlich erhalte ich dann den folgenden Ausdruck bei dem ich nicht mehr weiter komme.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{(n+2)^3-(n+1)^3}{ \sqrt{n(n+2)^3}+ \sqrt{n(n+1)^3}}
[/mm]
Wüsste jetzt nicht wie ich da etwas mit n ausklammern kann. Bitte um weitere Hilfe. Das müsste man nur durch trickreiches umformen hinkriegen, da es sich um eine Matheaufgabe aus dem 1.Semester eines Ingenieurstudienganges handelt.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also ich habe mal versucht das zu erweitern, so das der
> Zähler zum 3.Binom wird.
> Letzendlich erhalte ich dann den folgenden Ausdruck bei
> dem ich nicht mehr weiter komme.
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{(n+2)^3-(n+1)^3}{ \sqrt{n(n+2)^3}+ \sqrt{n(n+1)^3}}[/mm]
Ja, richtig.
> Wüsste jetzt nicht wie ich da etwas mit n ausklammern
> kann. Bitte um weitere Hilfe. Das müsste man nur durch
> trickreiches umformen hinkriegen, da es sich um eine
> Matheaufgabe aus dem 1.Semester eines
> Ingenieurstudienganges handelt.
Stimmt, das geht auch. Du musst jetzt die Klammern auflösen und zusammenfassen. Im Zähler ist die höchste verbleibende Potenz dann [mm] x^2, [/mm] im Nenner steht als höchste Potenz [mm] x^4 [/mm] unter beiden Wurzeln. Deswegen: ausklammern. Dann siehst Du, welche Terme gegen Null gehen und welche bleiben.
Es ist wirklich nur ein bisschen Rechnerei.
Tipp: [mm] (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
[/mm]
Grüße
reverend
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit, falls man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zur Verfügung hat:
Für x>0 setze [mm] f(x)=x^{3/2}. [/mm] Dann ist [mm] $f'(x)=\bruch{3}{2}* \wurzel{x}$.
[/mm]
Nach dem MWS gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] t_n \in [/mm] (n+1,n+2) mit
[mm] a_n=\bruch{3}{2}* \wurzel{\bruch{t_n}{n}}.
[/mm]
Damit bekommen wir:
[mm] \bruch{3}{2}* \wurzel{\bruch{n+1}{n}} \le a_n \le \bruch{3}{2}* \wurzel{\bruch{n+2}{n}}.
[/mm]
Fazit: [mm] a_n \to \bruch{3}{2}.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Also ich habe mal versucht das zu erweitern, so das der Zähler zum 3.Binom wird.
Letzendlich erhalte ich dann den folgenden Ausdruck bei dem ich nicht mehr weiter komme.
$ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] \frac{(n+2)^3-(n+1)^3}{ \sqrt{n(n+2)^3}+ \sqrt{n(n+1)^3}} [/mm] $
Wüsste jetzt nicht wie ich da etwas mit n ausklammern kann. Bitte um weitere Hilfe. Das müsste man nur durch trickreiches umformen hinkriegen, da es sich um eine Matheaufgabe aus dem 1.Semester eines Ingenieurstudienganges handelt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 So 12.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Du brauchst nicht die gleiche Frage zweimal zu stellen.
Diese hier habe ich oben schon beantwortet.
Auf Freds Tipp mit dem Mittelwertsatz bist Du dabei ja auch nicht eingegangen.
Grüße
reverend
|
|
|
|
