Grenzwert dieser Folge? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(5n)!}{(n!)^{5}}} [/mm] |
Wie geht man hier vor? Ich habe keine Idee dazu.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Zorba!
Hast Du direkt diese Folge gegeben, von welcher der Grenzwert bestimmt werden soll?
Oder ist hier nach der Konvergenz der Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(5n)!}{(n!)^{5}}$ [/mm] gefragt? Dann würde ich hier eindeutig das Quotientenkriterium verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Ich habe die Folge gegeben.
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Hallo Georg,
du könntest die Stirling-Formel benutzen, nach der für große n (und die interessieren ja hier wegen [mm] $n\to\infty$) [/mm] gilt:
[mm] $n!\approx\sqrt{2\cdot{}\pi\cdot{}n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
[/mm]
Wenn ich mich nicht verkaspert habe, sollte als GW der Folge [mm] $5^5=3125$ [/mm] herauskommen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Der Grenzwert ist richtig. Es soll [mm] 5^{5} [/mm] herauskommen.
Kann man das auch ohne Stirlingformel machen?
Danke für deine Idee!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 06.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(5n)!}{(n!)^{5}}}[/mm]
>
> Wie geht man hier vor? Ich habe keine Idee dazu.
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(5n)!}{(n!)^{5}}
[/mm]
Dann gilt (nachrechnen !): [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] 5^5.
[/mm]
Nach einem Satz, den man in (fast) jedem Analysisbuch findet (z.B. H. Heuser:Lehrbuch der Analysis (Teil1), satz 28.7), gilt:
ist [mm] (\bruch{a_{n+1}}{a_n}) [/mm] konvergent, so ist auch [mm] (\wurzel[n]{a_n}) [/mm] konvergent und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_n}
[/mm]
Hierbei ist natürlich vorausgesetzt, dass alle [mm] a_n [/mm] >0 sind
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielen vielen Dank, genau so muss ichs wohl machen!
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