Grenzwert der Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{4^{k-1}}{5^{k+1}}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+1} + (-3)^k}{10^{k+2}} [/mm] |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 - (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})}
[/mm]
[mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{4^{k-1}}{5^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+2}}{5^{k+4}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k} * 4^{2}}{5^{k} * 5^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{5^{4}} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{4}{5})^k [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{5^{4}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1 - (\bruch{4}{5}))} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{5^{4} - (\bruch{5^{4} * 4}{5})} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{5^{4} - (\bruch{5^{5} - 5^{4} * 4}{5})} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{5} - 5^{4} * 4}{5})} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{4} * 5 - 5^{4} * 4}{5})} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{4}}{5})} [/mm] = [mm] \bruch{4^{2}}{5^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{16}{125} [/mm]
Sind meine Ergebnisse richtig?
Könnte mir mal jemand zeigen wie man bei der 3ten vorgehen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})^n[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{4^{k-1}}{5^{k+1}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+1} + (-3)^k}{10^{k+2}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})^n[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1 - (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})}[/mm]
Das könntest du noch vereinfachen, aber das stimmt.
>
> [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{4^{k-1}}{5^{k+1}}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+2}}{5^{k+4}}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k} * 4^{2}}{5^{k} * 5^{4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4}} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{4}{5})^k[/mm]
> = [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4}}[/mm] * [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B1%20-%20(%5Cbruch%7B4%7D%7B5%7D))%7D[/mm] =
Ab hier kannst du das doch wesentlich einfacher machen, denn [mm] \frac{1}{1-\frac{4}{5}}=5.
[/mm]
Und damit dann [mm] \frac{5^{2}}{5^{4}}\cdot\frac{1}{5}=\frac{16}{125}
[/mm]
> [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4} - (\bruch{5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4} - (\bruch{5^{5} - 5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> [mm]\bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{5} - 5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> [mm]\bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{4} * 5 - 5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> [mm]\bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{4}}{5})}[/mm] = [mm]\bruch{4^{2}}{5^{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{16}{125}[/mm]
>
> Sind meine Ergebnisse richtig?
> Könnte mir mal jemand zeigen wie man bei der 3ten
> vorgehen soll?
Spalte das ganze auf:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+1} + (-3)^k}{10^{k+2}} [/mm] $
$ [mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4^{k+1}}{10^{k+2}}+\frac{(-3)^k}{10^{k+2}}\right) [/mm] $
$ [mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4\cdot4^{k}}{10^{2}\cdot10^{k}}+\frac{(-3)^k}{10^{2}\cdot10^{k}}\right) [/mm] $
$ [mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{4\cdot4^{k}}{10^{2}\cdot10^{k}}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^k}{10^{2}\cdot10^{k}} [/mm] $
$ [mm] =\frac{4}{100}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4}{10}\right)^{k}+\frac{1}{100}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-3}{10}\right)^{k} [/mm] $
Nun kannst du die Grenzwerte der Teilreihen bestimmen.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Hallo
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>
> > Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen:
> >
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})^n[/mm]
>
> >
> > [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{4^{k-1}}{5^{k+1}}[/mm]
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+1} + (-3)^k}{10^{k+2}}[/mm]
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> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})^n[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{1}{1 - (\bruch{\wurzel[]{2}}{1 + \wurzel[]{2}})}[/mm]
>
> Das könntest du noch vereinfachen, aber das stimmt.
>
>
> >
> > [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{4^{k-1}}{5^{k+1}}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+2}}{5^{k+4}}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k} * 4^{2}}{5^{k} * 5^{4}}[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4}} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{4}{5})^k[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4}}[/mm] *
> [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B1%20-%20(%5Cbruch%7B4%7D%7B5%7D))%7D[/mm] =
>
> Ab hier kannst du das doch wesentlich einfacher machen,
> denn [mm]\frac{1}{1-\frac{4}{5}}=5.[/mm]
>
> Und damit dann
> [mm]\frac{5^{2}}{5^{4}}\cdot\frac{1}{5}=\frac{16}{125}[/mm]
>
> > [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4} - (\bruch{5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> > [mm]\bruch{4^{2}}{5^{4} - (\bruch{5^{5} - 5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> > [mm]\bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{5} - 5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> > [mm]\bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{4} * 5 - 5^{4} * 4}{5})}[/mm] =
> > [mm]\bruch{4^{2}}{ (\bruch{5^{4}}{5})}[/mm] =
> [mm]\bruch{4^{2}}{5^{3}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{16}{125}[/mm]
>
>
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> >
> > Sind meine Ergebnisse richtig?
> > Könnte mir mal jemand zeigen wie man bei der 3ten
> > vorgehen soll?
>
> Spalte das ganze auf:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^{k+1} + (-3)^k}{10^{k+2}}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4^{k+1}}{10^{k+2}}+\frac{(-3)^k}{10^{k+2}}\right)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4\cdot4^{k}}{10^{2}\cdot10^{k}}+\frac{(-3)^k}{10^{2}\cdot10^{k}}\right)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{4\cdot4^{k}}{10^{2}\cdot10^{k}}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^k}{10^{2}\cdot10^{k}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{4}{100}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4}{10}\right)^{k}+\frac{1}{100}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-3}{10}\right)^{k}[/mm]
= [mm] \bruch{4}{100} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{4}{10}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{100} [/mm] * [mm] \bruch{3}{1 + \bruch{3}{10}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{15} [/mm] - [mm] \bruch{1}{130} [/mm] = [mm] \bruch{26}{15} [/mm] - [mm] \bruch{3}{290} [/mm] = [mm] \bruch{23}{390}
[/mm]
Ist das richtig?
>
> Nun kannst du die Grenzwerte der Teilreihen bestimmen.
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> >
> >
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4\cdot4^{k}}{10^{2}\cdot10^{k}}+\frac{(-3)^k}{10^{2}\cdot10^{k}}\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{4\cdot4^{k}}{10^{2}\cdot10^{k}}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^k}{10^{2}\cdot10^{k}}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\frac{4}{100}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4}{10}\right)^{k}+\frac{1}{100}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-3}{10}\right)^{k}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{100}[/mm] * [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B1%20-%20%5Cbruch%7B4%7D%7B10%7D%7D[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{100}[/mm] * [mm]\bruch{3}{1 + \bruch{3}{10}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{15}[/mm] - [mm]\bruch{1}{130}[/mm] = [mm]\bruch{26}{15}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{290}[/mm] = [mm]\bruch{23}{390}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein, du hast aus dem + zwischen den Summen ein - gemacht.
[mm] \frac{4}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac{4}{10}}+\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{1+\frac{3}{10}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{25}\cdot\frac{1}{\frac{3}{5}}+\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{\frac{13}{10}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{25}\cdot\frac{5}{3}+\frac{1}{100}\cdot\frac{10}{13}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{15}+\frac{1}{130}
[/mm]
[mm] =\frac{26}{390}+\frac{3}{390}
[/mm]
[mm] =\frac{29}{390}
[/mm]
Marius
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