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| Aufgabe | Berechnen Sie, wenn möglich den Grenzwert der Funktion [mm] f(x)=\bruch{9-x^{2}}{x+3}
[/mm]
a) für x gegen unendlich
b) für x gegen -3
c) für x gegen 3
d) Ist die Funktion an der Stelle x gegen -3 stetig? Begründen Sie ihre Aussage! |
Guten Morgen in den matheraum
a)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{9-x^{2}}{x+3}
[/mm]
ich habe [mm] x^{2} [/mm] ausgeklammert und gekürzt
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{9}{x^{2}}-1}{\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\infty [/mm] weil der Nenner Nullfolgen hat, also gegen Null geht
b)
linksseitig gegen -3 ist [mm] +\infty
[/mm]
rechtsseitig gegen -3 ist [mm] +\infty
[/mm]
gleichzeitig ist aber f(-3) nicht definiert
c)
rechtsseitig gegen 3 ist 0
linksseitig gegen 3 ist 0
gleichzeitig ist f(3)=0
d)
Funktion ist nicht stetig an der Stelle x=-3, sie hat an der Stelle einen Sprung, es liegt an dieser Stelle eine Asymptote vor, der sich die Funktion jeweils im Unendlichen belibig annähert
Sind die Lösungen so gut?
Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 28.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Berechnen Sie, wenn möglich den Grenzwert der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{9-x^{2}}{x+3}[/mm]
>
> a) für x gegen unendlich
> b) für x gegen -3
> c) für x gegen 3
> d) Ist die Funktion an der Stelle x gegen -3 stetig?
> Begründen Sie ihre Aussage!
> Guten Morgen in den matheraum
>
> a)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{9-x^{2}}{x+3}[/mm]
>
> ich habe [mm]x^{2}[/mm] ausgeklammert und gekürzt
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{9}{x^{2}}-1}{\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]=-\infty[/mm] weil der Nenner Nullfolgen hat, also gegen Null
> geht
>
Es fehlt die Begründung, wieso es gegen [mm] -\infty [/mm] und nicht gegen [mm] +\infty [/mm] geht.
> b)
> linksseitig gegen -3 ist [mm]+\infty[/mm]
> rechtsseitig gegen -3 ist [mm]+\infty[/mm]
> gleichzeitig ist aber f(-3) nicht definiert
>
[mm]\bruch{9-x^{2}}{x+3} = \bruch{(3+x)(3-x)}{x+3}[/mm].
Deine Grenzwerte sind also falsch.
> c)
> rechtsseitig gegen 3 ist 0
> linksseitig gegen 3 ist 0
> gleichzeitig ist f(3)=0
>
Richtig.
> d)
> Funktion ist nicht stetig an der Stelle x=-3, sie hat an
> der Stelle einen Sprung, es liegt an dieser Stelle eine
> Asymptote vor, der sich die Funktion jeweils im Unendlichen
> belibig annähert
Musst du nochmal überlegen, da die b) ja falsch war bei dir.
>
> Sind die Lösungen so gut?
Die Lösungen ja (bis auf die b), es fehlen bloß die Rechenwege, also wie du darauf gekommen bist, dass der links-/rechtsseitige Grenzwert genau diesen Wert hat.
Wenn du die Wege mit hinschreibst, dann können wir dir auch besser helfen.
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Danke
die Begründung für a) der Grenzwert ist [mm] -\infty, [/mm] weil im Zähler -1 steht, im Nenner steht stets eine positive Zahl
Korrektur zu b)
linksseitiger Grenzwert für x gegen -3 sollte [mm] -\infty [/mm] sein
rechtsseitiger Grenzwert für x gegen -3 bleibt doch aber [mm] +\infty?
[/mm]
Korrektur zu d)
linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x=-3 sind verschieden, es liegt ein Sprung an dieser stelle vor, die Funktion nähert sich der Asymptote x=-3, von links geht sie gegen - unendlich, von rechts geht sie gegen + unendlich, stimmen meine Lösungen so? Zwinkerlippe
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Oh je, noch einmal, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert ist also 6, und nun zur Stetigkeit, die Funktion ist aber nicht stetig, beide Grenzwerte stimmen zwar überein, aber f(-3) ist nicht definiert (Division durch Null), so richtig? Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 28.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt's ... aber man könnte die Funktion durch den ermittelten Grenzwert mit $f(-3) \ := \ 6$ stetig ergänzen.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Weder Deine Grenzwerte stimmen hier, noch dass diese sich unterscheiden.
