Grenzwert der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hätte mal eine Frage. Ich soll beweisen, dass :
a(n) = (1- [mm] 1/n²)^n [/mm] n>= 1
konvergiert gegen 1.
Meine Idee war:
für [mm] \varepsilon [/mm] >0 und 1/N< [mm] \varepsilon [/mm] und n>=N
(was ja alles 3 die Voraussetzungen sind) gilt:
|a(n) - a| >= |1-n*1/n²-1| = |-1/n| = 1/n <= 1/N < [mm] \varepsilon
[/mm]
wobei der zweite Schritt durch die Bernoulli Ungleichung kommt.
nun habe ich aber keine Aussage, die mir etwas bringt, da
|a(n) - a| >= 1/n < |a(n) - a| ist.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen, ich finde meinen Fehler nicht.
Vielen Dank schonmal,
Willy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo willymathe!
Kennst Du den Grenzwert der Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{a}{n}\right)^n$ [/mm] ??
Es gilt nämlich [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] e^a$ [/mm]
Und wenn Du nun Deine Folge gemäß 3. binomischer Formel zerlegst, erhält man:
[mm] $\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[1^2-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1-\bruch{1}{n}\right)*\left(1+\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{\red{-1}}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm]
Kommst Du nun auch auf Dein gewünschtes Ergebnis?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
erstmal vielen Dank für deine Lösung.
Das Problem ist nur, dass ich den lim von [mm] e^x [/mm] nicht verwenden darf (da noch nicht bewiesen). Außerdem steht in der Aufgabenstellung man soll es mit Hifle der Bernoulli Ungleichung lösen (hab ich vergessen dazu zu schreiben, sry).
Mir stört nur, dass ich aus meiner Gleichung keine wirkliche Folgerung ablesen kann, da einmal ">=" ... "<" ... steht, was dann nichts wert ist.
Gruß Willy!
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> Hallo,
> ich hätte mal eine Frage. Ich soll beweisen, dass :
>
> a(n) = (1- [mm]1/n²)^n[/mm] n>= 1
>
> konvergiert gegen 1.
Hallo,
Bernoulli sagt (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n=(1+ \bruch{-1}{n^2})^n \ge 1+n\bruch{-1}{n^2}=1- \bruch{1}{n}
[/mm]
==> -(1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n \le [/mm] -(1- [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
Nun kannst Du anfangen:
Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 und 1/N< [mm]\varepsilon[/mm].
Dann gilt für alle n [mm] \ge [/mm] N
|a(n) - 1|
=1-a(n) (Überleg Dir, wieso!)
[mm] \le [/mm] ... (Jetzt der negative Bernoulli, und Du wirst dem Ziel nahe sein.
Gruß v. Angela
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> nun habe ich aber keine Aussage, die mir etwas bringt, da
> |a(n) - a| >= 1/n < |a(n) - a| ist.
>
> Könnt ihr mir bitte weiterhelfen, ich finde meinen Fehler
> nicht.
Der Fehler ist dort, wo Du den Betrag so abschätzt, als wären die Betragsstriche nicht da.
Gruß v. Angela
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