Grenzwert bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und seien [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in \IR [/mm] mit [mm] a_j [/mm] > 0 für alle j = 1,...,n
a) Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{p\downarrow 0}log\left(\left(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}a_j^p\right)^{\bruch{1}{p}}\right)
[/mm]
b) Beweisen Sie die folgende Ungleichung:
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}a_j \ge \left(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}\sqrt{a_j}\right)^2
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] b_k [/mm] := [mm] \left(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}\sqrt[2^k]{a_j}\right)^{2^k}, [/mm] k [mm] \in \IN_0 [/mm] monoton fallend ist.
d) Bestimmen Sie [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k. [/mm] Auf welche schon bekannte Aussage führt die Ungleichung [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k \le b_0 [/mm] zurück? |
Hallo,
Teile a) bis c) habe ich gelöst. Schwierigkeiten habe bei Teil d).
[mm] b_0 [/mm] ist ja das arithmetische Mittel. Da [mm] b_k \ge [/mm] 0 für alle k ist, und weil [mm] b_k [/mm] monoton fallend ist, ist [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k [/mm] endlich. Ich behaupte dass [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k [/mm] das geometrische Mittel ist, aber wie zeige ich das am besten?
Ich vermute, dass ich dafür irgendwie Teil a) benutzen muss?
Grüsse
Alex
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Ok, meine Vermutung war richtig. Der Grenzwert ist das geometrische Mittel, und man benutzt zur Lösung Teil a).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 18.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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