Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Do 10.02.2011 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm]\limes_{x\rightarrow0,x>0} (2\wurzel{x}+e^x)^{\frac{1}{\wurzel{x}}}[/mm] |
Hallo, hier stoße ich an meine Grenzen.
Zuerst mal ist das ein Grenzwert des Typs [mm]1^{\infty}[/mm]
Somit folgt für mich
[mm]\limes_{x\rightarrow0,x>0} e^{\frac{ln(2\wurzel{x}+e^x)}{\wurzel{x}}}[/mm] Typ [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Exponentbetrachtung:
[mm]\left(\frac{\frac{1}{\wurzel{x}} +e^x}{2\wurzel{x}+e^x}*\wurzel{x}-ln(2\wurzel{x}+e^x)*\frac{1}{2*\wurzel{x}}\right)*\frac{1}{x^2}[/mm]
nach Quotientenregel
Wie kann ich nun weitermachen? Ich sehe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{x\rightarrow0,x>0} (2\wurzel{x}+e^x)^{\frac{1}{\wurzel{x}}}[/mm]
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> Hallo, hier stoße ich an meine Grenzen.
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> Zuerst mal ist das ein Grenzwert des Typs [mm]1^{\infty}[/mm]
>
> Somit folgt für mich
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0,x>0} e^{\frac{ln(2\wurzel{x}+e^x)}{\wurzel{x}}}[/mm]
> Typ [mm]\frac{0}{0}[/mm]
>
> Exponentbetrachtung:
>
> [mm]\left(\frac{\frac{1}{\wurzel{x}} +e^x}{2\wurzel{x}+e^x}*\wurzel{x}-ln(2\wurzel{x}+e^x)*\frac{1}{2*\wurzel{x}}\right)*\frac{1}{x^2}[/mm]
>
> nach Quotientenregel
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> Wie kann ich nun weitermachen?
So gar nicht !
> Ich sehe vor lauter Bäumen
> den Wald nicht mehr.
Das wundert mich nicht, wenn ich sehe , was Du da so treibst !
1. Wenn du das Grenzwertverhalten eines Ausdrucks der Form [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] mit l'Hospital untersuchen willst, darfst Du nicht
( [mm] \bruch{f(x)}{g(x)})'
[/mm]
betrachten, sondern [mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)}.
[/mm]
2. Zu Deiner Aufgabe. Du kannst Dir das Leben beträchtlich vereinfachen, wenn Du substituierst:
[mm] x=t^2.
[/mm]
Untersuche also
[mm]\limes_{t \rightarrow 0,t>0} (2*t+e^{t^2})^{\frac{1}{t}[/mm]
FRED
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 10.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Vielen Dank. Wäre auf die Substitution nie gekommen.
Ist der Grenzwert dann [mm]e^3[/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Vielen Dank. Wäre auf die Substitution nie gekommen.
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> Ist der Grenzwert dann [mm]e^3[/mm] ?
Ich bekomme [mm] e^2 [/mm] ...
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 10.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Dann lass uns da bitte nochmal durchrechnen.
Exponent:
[mm]\frac{ln(2t+e^{t^2})}{t}[/mm] Typ [mm]\frac{0}{0}[/mm]
nochmal l'hospital:
[mm]\frac{2+2t*e^{t^2}}{{2t+e^t}}*1[/mm]
ok jetzt sehe ich es auch ist [mm] $\frac{2}{1}$
[/mm]
Danke.
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Hallo Izaman,
> Dann lass uns da bitte nochmal durchrechnen.
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> Exponent:
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> [mm]\frac{ln(2t+e^{t^2})}{t}[/mm] Typ [mm]\frac{0}{0}[/mm]
>
> nochmal l'hospital:
>
> [mm]\frac{2+2t*e^{t^2}}{{2t+e^t}}*1[/mm]
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> ok jetzt sehe ich es auch ist [mm]\frac{2}{1}[/mm]
So ist es.
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> Danke.
>
Gruss
MathePower
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