Grenzwert berrechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Einen wunderschönen guten Abend alle Mathefreaks...
Meine Aufgabe lautet:
Betrachtet werde eine differenzierbare Funktion f: (0,1] --> [mm] \IR. [/mm] Für die gelte, dass | f'(x)| < 1 für alle x [mm] \in [/mm] (0,1]. Zeige, dass die Folge (f([mm] \bruch{1}{n}[/mm])) [mm] n \in \IN [/mm]einen Grenzwert besitzt.
Da ich leider nicht zu den Mathefreaks gehöre, weiß ich nicht genau, was ich machen soll.
P.S. Mathefreaks ist nicht böse gemeint, ich würd gern selber dazu gehören, da mir Mathe mal echt Spaß gemacht hat. ))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Do 27.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Da ich leider nicht zu den Mathefreaks gehöre, weiß ich
> nicht genau, was ich machen soll.
Zeigen, dass diese Folge konvergeirt - was ist daran unklar? Die Definition? Einen Ansatz hier oder wie? Als Ansatz: zeige, das diese Folge eine Cauchy-Folge, dazu sieh dir mal den Mittelwertsatz an. Was folt denn nun?
SEcki
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Kannst du mir vielleicht nochmal dabei helfen, wie ich zeigen kann, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Mit dem Schrankensatz (einer Folgerung aus dem Mittelwertsatz) folgt für vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und alle $n,m [mm] \ge N_0 \ge \frac{1}{\varepsilon}$:
[/mm]
[mm] $\left| f\left( \frac{1}{n} \right) - f \left( \frac{1}{m} \right) \right| \le \sup\limits_{x \in (0,1]} |f'(\xi)| \cdot \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| \le \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| \le \max \left\{ \frac{1}{n}, \frac{1}{m} \right\} \le \frac{1}{N_0} \le \varepsilon$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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