Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Sa 31.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Existieren die folgenden Grenzwerte?
[mm] \limes_{x\rightarrow2} \bruch{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{e^x-1}{|x|} [/mm] |
Hallo,
in der Lösung steht hier:
[mm] \limes_{x\rightarrow2} \bruch{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}=\limes_{x\rightarrow2} \bruch{2x-3}{2x-5}
[/mm]
ich versteh hier überhaupt nicht, was gemacht wurde. Was ist mit [mm] x^2 [/mm] und 2 bzw. 6 passiert, woher kommt 2x, und warum steht da nur noch -3 und nicht -3x......
Das ganze hat wahrscheinlich was mit [mm] \limes_{x\rightarrow2} [/mm] zu tun...
Würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Existieren die folgenden Grenzwerte?
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> [mm]\limes_{x\rightarrow2} \bruch{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{e^x-1}{|x|}[/mm]
> Hallo,
>
>
> in der Lösung steht hier:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow2} \bruch{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}=\limes_{x\rightarrow2} \bruch{2x-3}{2x-5}[/mm]
Das stimmt zwar in der Aussage, denn beide GWe sind gleich, aber wie man von links nach rechts kommt ...
Nicht jeder Lösung bedenkenlos trauen!
Besser selber rechnen.
Faktorisiere Zähler und Nenner:
[mm] $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$ [/mm] und [mm] $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ [/mm] mit p/q-Formel oder Vieta oder scharfem Hinsehen ...
Damit [mm] $\lim\limits_{x\to 2}\bruch{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}=\limes_{x\rightarrow2} \bruch{(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-3)}=\ldots$ [/mm] kürzen und Grenzübergang machen!
>
>
> ich versteh hier überhaupt nicht, was gemacht wurde. Was
> ist mit [mm]x^2[/mm] und 2 bzw. 6 passiert, woher kommt 2x, und
> warum steht da nur noch -3 und nicht -3x......
>
> Das ganze hat wahrscheinlich was mit [mm]\limes_{x\rightarrow2}[/mm]
> zu tun...
>
> Würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Sa 31.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
danke, das mit dem faktorisieren ist mir nicht eingefallen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 31.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo schachuzipus,
war das nicht einfach nur eine Anwendung der Regel von L'Hôpital ?
Es ist doch ein Fall von [mm] "\frac{0}{0}", [/mm] nicht wahr ?
LG
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Hi MB,
in der Tat, habe ich komplett übersehen ...
Immer diese schweren Geschütze ...
Danke für die Erhellung!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 31.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
ohh darauf hätte ich aber auch drauf kommen müssen....danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ohh darauf hätte ich aber auch drauf kommen
> müssen....danke :)
Tipp: Wenn bei einem Bruch bei der Grenzwertberechnung im Zähler und im Nenner plötzlich die Ableitungen stehen, dann denke an de L'Hopital
P.S.:
Man sollte sich auch überzeugen, dass der Satz von de L'Hopital anwendbar ist (ist er hier, und in der Mitteilung mit dem entsprechenden Hinweis steht es auch).
P.P.S.:
Bei
[mm] $$(\*)\;\;\;\limes_{x\rightarrow0}\bruch{e^x-1}{|x|}$$
[/mm]
sollte man zunächst
$$$ [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{e^x-1}{x}$$
[/mm]
betrachten:
Was hat das letztstehende mit [mm] $\exp'(0)$ [/mm] zu tun?
Wie sieht es dann mit der Existenz des GWs in [mm] $(\*)$ [/mm] aus?
(Und es geht sogar noch einfacher:
Ist denn
$$x [mm] \mapsto f(x):=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x \ge 0, & -e^x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}$$ [/mm]
stetig in [mm] $x_0=0$? [/mm] (Als Abbildung [mm] $\IR \to \IR$.)
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Sa 31.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
bei der zweiten habe ich mir überlegt, den links und rechtsseitigen GW zu betrachten.
links:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^x-1}{|x|} =\bruch{e^{-1}-1}{|-1|}=\bruch{e^{-1}-1}{1}
[/mm]
ich glaube ich mache etwas falsch oder?
Lg Melisa
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Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
>
> bei der zweiten habe ich mir überlegt, den links und
> rechtsseitigen GW zu betrachten.
Ganz genau so geht's !!
>
> links:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^x-1}{|x|} =\bruch{e^{-1}-1}{|-1|} [/mm]
Hier stimmt was nicht!
Linksseitiger Limes [mm] $x\to [/mm] 0^-$ bedeutet, dass du dich mit $x$ von links an 0 heranpirscht, es ist also $x<0$
Damit $|x|=-x$
Also [mm] $\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{e^x-1}{|x|}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{e^x-1}{-x}=\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$
[/mm]
Also wende de l'Hôpital an auf [mm] $\frac{e^x-1}{-x}$
[/mm]
Analog für den rechtsseitigen Limes.
Anstatt de l'Hôpital zu bemühen, bedenke, dass für den der linksseitigen Limes gilt:
[mm] $\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{e^x-1}{-x}=-\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{e^x-e^0}{x-0}=-f'(0)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] (Diffenrenzenquotient für den linksseitigen Limes von [mm] $f(x)=e^x$)
[/mm]
> [mm] =\bruch{e^{-1}-1}{1}[/mm]
[/mm]
>
>
> ich glaube ich mache etwas falsch oder?
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> bei der zweiten habe ich mir überlegt, den links und
> rechtsseitigen GW zu betrachten.
>
> links:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^x-1}{|x|} =\bruch{e^{-1}-1}{|-1|}=\bruch{e^{-1}-1}{1}[/mm]
>
>
> ich glaube ich mache etwas falsch oder?
>
>
> Lg Melisa
ja, wieso geht bei Dir z.B. im Nenner [mm] $|x|\,$ [/mm] über in [mm] $|-1\,|$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0^-$? (Irgendwie steht da komischerweise sehr oft eine [mm] $1\,,$ [/mm] wo man nicht weiß, wieso...)
Eine weitere Alternative, warum hier der GW nicht existiert, siehe etwa hier [mm] $\text{(}$ [/mm] gemeint ist der Zshg. zu
$$x [mm] \mapsto f(x):=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x \ge 0, & -e^x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}\text{.)}$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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