Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 13.06.2010 | | Autor: | Help23 |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{5^2}+...+\bruch{1}{5^n-1})-\bruch{1}{n^4}(1+2+...+n)^2) [/mm] |
Ich dachte mir das so.....
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{5^2}+...+\bruch{1}{5^n-1})-\bruch{1}{n^4}(1+2+...+n)^2)
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}((1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{25}+...+\bruch{1}{\infty})-\bruch{1}{\infty}(1+2+...+n)^2)
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}((1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{25}+...+0)-0(1+2+...+n)^2)
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{25}+...+0)
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{6}{25})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1\bruch{6}{25})
[/mm]
Ich bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob das richtig ist.....das ging irgendwie zu einfach 
LG Help
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 13.06.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
erstens soll die Reihe denk ich bis [mm] $\frac1{5^{n-1}}$ [/mm] gehen und nicht [mm] $\frac1{5^n-1}$, [/mm] weil sonst ergeben die [mm] $\ldots$ [/mm] erst gar keinen Sinn.
Zweitens
[mm] $1+2+\ldots+100=1+2+100=103$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac [/mm] nn = [mm] \lim_{n\to\infty}n\frac [/mm] 1n = [mm] \lim_{n\to\infty}n*\underbrace{\frac1n}_{\to 0} [/mm] = 0$
Jetzt erzählst Du mir, warum die offensichtlich völliger Quatsch sind, und dann erzählst Du mir, warum Du trotzdem beides gemacht hast. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 13.06.2010 | | Autor: | Help23 |
Ja, das erste ist ein Tippfehler, dass soll schon heißen [mm] \bruch{1}{5^n^-^1}
[/mm]
Bei dem Rest weiß ich nich, was du von mir willst.......
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Hiho,
> Bei dem Rest weiß ich nich, was du von mir willst.......
ok, dann von gaaaaaaaaanz vorn.
1.) Wenn ich schreibe: $1 + 2 + ... + 100$ was meine ich dann? Ein Tip: Ich meine NICHT 103!
2.) Offensichtlich ist ja:
i) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 = 1$
ii) $1 = [mm] \bruch{n}{n}$
[/mm]
iii) [mm] $\bruch{n}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}n
[/mm]
Wie kann dann nach deiner Theorie:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}n \overbrace{=}^{\text{nach dir}} \bruch{1}{\infty}n [/mm] = 0*n = 0$
sein, wenn doch dann gelten würde:
$1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}n \overbrace{=}^{\text{nach dir}} [/mm] 0$
Wo ist also der Fehler?
Beantworte 1.) und 2.) Und wir sind ein ganzes Stück weiter.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 13.06.2010 | | Autor: | Help23 |
Ok,
a) diese Pünktchen bedeuten bestimmt, dass da hin soll [mm] \bruch{1}{5^3}+\bruch{1}{5^4}+usw. [/mm]
Aber dadurch, dass der Nenner immer größer wird, läuft das dann auch alles gegen 0 (dachte ich zumindest)
Gut, dass i) ii) iii) in dem Beispiel immer = 1 ist habe ich verstanden, das heißt also, das Ende der Aufgabe fällt leider nicht weg.....was mach ich stattdessen???? Klammer auflösen?????
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> a) diese Pünktchen bedeuten bestimmt, dass da hin soll
> [mm]\bruch{1}{5^3}+\bruch{1}{5^4}+usw.[/mm]
gut erkannt
> Aber dadurch, dass der Nenner immer größer wird, läuft
> das dann auch alles gegen 0 (dachte ich zumindest)
Naja, die Summanden laufen nachher gegen 0, aber die Summe wird trotzdem immer grösser.
Für die erste Klammer mal als Tip: Geometrische Summe!
Da gibts eine schöne Formel für, wie man das zusammen fassen kann.
Such die mal raus und versuche sie dann geeignet zu nutzen.
> Gut, dass i) ii) iii) in dem Beispiel immer = 1 ist habe
> ich verstanden, das heißt also, das Ende der Aufgabe
> fällt leider nicht weg.....was mach ich stattdessen????
> Klammer auflösen?????
Nein. Auch für die letzte Klammer nen Tip: Gaußsche Summenformel.
Auch hier: Raussuchen, geeignet einsetzen und dann sind wir schon ein gutes stück weiter.
MFG,
Gono.
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