Grenzwert berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\cos(x))^{x^{-2}} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier eine Lösung vorliegen die leider mit meiner Berechnung nicht übereinstimmt.
1. Schritt: = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow0} ln(cos(x)*\bruch{1}{x^2})} [/mm] den habe ich genauso
2.Schritt (l'hospital): [mm] =e^{\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{cos(x)}*(-sinx)}{2x}}
[/mm]
hier verstehe ich nicht ganz welche ableitungsregeln verwendet wurden, weil das für mich so aussieht als hätten die das [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ausserhalb des ln betrachtet
ich hoffe jemand von euch behält den durchblich auch wenn die Dormeln sehr klein dargestwllt werden
Gruß Aldiimwald
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldi!
Es muss im Exponenten (nach der 1. Umformung) heißen:
[mm] $$\ln\left[\left(\cos(x)\right)^{\bruch{1}{x^2}} \ \right]$$
[/mm]
Dies kann man gemäß  Logarithmusgesetz umformen zu:
[mm] $$\bruch{1}{x^2}*\ln\left[\cos(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln\left[\cos(x)\right]}{x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Aldiimwald |
also genau wie ich vermutet habe.
vielleicht ein übertragungsfehler.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldi!
??? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Der Term nach Anwendung von de l'Hospital ist doch korrekt in der Lösung angegeben.
Gruß
Loddar
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nein, da schließt die klammer den bruch [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] in den ln mit ein.
aber was mir immernoch nicht so recht gefällt ist wie [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] weiter abgeleitet wurde ich hätte das zu [mm] \bruch{-2}{x^3} [/mm] abgeleitet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldi!
Sieh Dir de l'Hospital nochmal an. Du musst den Zähler und den Nenner jeweils für sich ableiten. Damit hast Du im Nenner dann die Ableitung von [mm] $x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Aldiimwald |
outsch ja natürlich vielen Dank!!!
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