Grenzwert Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Fr 01.03.2019 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
wie kann man den Grenzwert von [mm] n^{\bruch{2}{3}}*(\wurzel[3]{n+1}-\wurzel[3]{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] berechnen ?
Scheinbar ergibt sich als Grenzwert 1/3.
Bei Quadratwurzeln würde ich mit dem 3.Binom erweitern.
Wenn ich umforme, komme ich auf [mm] (\wurzel[3]{1+\bruch{1}{n}}-1)*n.
[/mm]
Aber auch hier komme ich nicht auf einen Grenzwert.
Kann mir jemand helfen ?
Viele Grüße
Rubi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Fr 01.03.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> wie kann man den Grenzwert von
> [mm]n^{\bruch{2}{3}}*(\wurzel[3]{n+1}-\wurzel[3]{n})[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
> berechnen ?
> Scheinbar ergibt sich als Grenzwert 1/3.
>
> Bei Quadratwurzeln würde ich mit dem 3.Binom erweitern.
Wir haben aber 3. Wurzeln .....
>
> Wenn ich umforme, komme ich auf
> [mm](\wurzel[3]{1+\bruch{1}{n}}-1)*n.[/mm]
> Aber auch hier komme ich nicht auf einen Grenzwert.
>
> Kann mir jemand helfen ?
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
>
>
Vorweg: für reelle Zahlen a,b gilt:
[mm] a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
[/mm]
Überzeuge Dich davon !
Nun seien [mm] a=\wurzel[3]{n+1} [/mm] und [mm] b=\wurzel[3]{n} [/mm] . Das liefert:
[mm] \wurzel[3]{n+1}-\wurzel[3]{n}= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}= \frac{1}{\wurzel[3]{(n+1)^2}+\wurzel[3]{(n+1)n}+\wurzel[3]{n^2}}.
[/mm]
Im Nenner des letzten Bruchs klammere [mm] n^{2/3} [/mm] aus. Wenn Du das ganze dann mit [mm] n^{2/3} [/mm] multiplizierst, solltes Du sehen, wie der Grenzwert 1/3 entsteht.
|
|
|
|
