Grenzwert Unklarheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Leute!
Ich habe hier eine Aufgabe gefunden, mit Lösung, bei der ich den letzten Schritt nicht nachvollziehen kann, vielleicht findet sich jemand, der mir das erklärt.
Gesucht wird der Grenzwert von:
(strebt gegen Null, ich weiss auch nicht, warum das nicht angezeigt wird)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} x^{x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0} e^{x*lnx}
[/mm]
= [mm] \limes_{e^x\rightarrow\0}x*lnx
[/mm]
[mm] =exp[\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{lnx}{\bruch{1}{x}}]
[/mm]
so hier liegt für mich die erste Unklarheit: Woher kommt [mm] {\bruch{1}{x}}? [/mm] ist das eine Regel, wenn ja, dann kenne ich sie nicht.
weiter gehts:
Ableitung nach L'Hospital:
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{-1}{x^2}}
[/mm]
[mm] =exp[\limes_{x\rightarrow\0}(-x)]
[/mm]
und jetzt folgt mein eigentliches Problem:
[mm] =e^0
[/mm]
=1
Ich verstehe also nicht, wieso das auf einmal [mm] e^0 [/mm] ist.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das jemand erklären würde, wahrscheinlich fehlt mir noch die Übung bei der Grenzwertberechnung.
Vielen Dank schonmal!!!
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Ich denke, da sind in deiner Rechnung ein paar Schreibfehler drin. Ich schreibe daher die Rechnung noch einmal auf:
[mm]\lim_{x \to 0}x^x=\lim_{x \to 0}\operatorname{e}^{x \cdot \ln{x}}=\exp{\left(\lim_{x \to 0}x \cdot \ln{x}\right)}=\exp{\left(\lim_{x \to 0}\frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}}\right)}[/mm]
[mm]=\exp{\left(\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\right)}=\exp{\left(\lim_{x \to 0}(-x)\right)}=\operatorname{e}^0=1[/mm]
1. Gleichheitszeichen:
drittes Logarithmusgesetz, e-Funktion und ln-Funktion sind Umkehrungen voneinander
2. Gleichheitszeichen:
Stetigkeit der e-Funktion; andere Schreibweise: statt "e hoch" schreibe "exp von"
3. Gleichheitszeichen:
x ist dasselbe wie [mm]\frac{1}{\frac{1}{x}}[/mm]
4. Gleichheitszeichen:
L'Hospital
5. Gleichheitszeichen:
Bruchrechnung [mm]\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\frac{AD}{BC}[/mm]
6. Gleichheitszeichen:
Berechnung des inneren Grenzwertes
7. Gleichheitszeichen:
schreibe statt "exp von" wieder "e hoch"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Leopold,
danke für die schnell Antwort!
Ich werde weiter üben, bald muss ichs ja drin haben ;))
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