Grenzwert, Stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 03.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Preise für leichtes Heizöl: bei einer Abnahme bis 5000 Liter 0,60 und über 5000 Liter 0,55. Der Funktionsgraph macht an der Stelle x0=5000 einen Sprung. Die Funktion läßt sich so definieren:
[mm] $f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,60 * x, & \mbox{für }\mbox{ 0 < x < 5000} \\
0,55 * x, & \mbox{für }\mbox{ 5000 < x}
\end{matrix}\right.$
[/mm]
Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] $\limes_{{\Delta} \ x \to \ 0}(f(x0+{\Delta} [/mm] \ x)-f(x0))$ an der Stelle x0=5000. |
Hallo Zusammen,
also muss der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert untersucht werden und wenn gleich dann existiert ein Grenzwert.
Hier noch die Tabelle welche Wert berechnet werden sollen:
$ [mm] {\Delta} [/mm] \ x$ | -10 | -1 | -0,1 | -0,01 | 0 | 0,01 | 0,1 | 1 | 10
$ [mm] {\Delta} [/mm] \ y = [mm] f(x0+{\Delta} [/mm] \ x)-f(x0)$
somit muss ich doch bis 5000 oder auf die Tabelle bezogen bis 0 mit 0,60 rechnen und dann über 5000 oder auf die Tabelle bezogen ab 0,01 mit 0,55 rechnen.
Zum Beispiel $ [mm] {\Delta} [/mm] \ x$ = -10
$ [mm] {\Delta} [/mm] \ y = 0,60(5000+(-10) - 0,60(5000)$ = -6 in der Lösung kommt aber (+)6 raus, ich bekomme für den linksseitigen Grenzwert die gleichen Ergebnisse raus, wie in der Lösung steht, nur dass meine Ergebnisse negativ sind. Was mache ich falsch? Wenn $ [mm] {\Delta} [/mm] \ x$ = -10 muss ich dies doch von x0=5000 abziehen und nähere mich somit von links den 5000 immer mehr an mit niedrigeren $ [mm] {\Delta} [/mm] \ x$ -Werten. Aber um auf die Ergebnisse in der Lösung zu kommen müsste ich diese addieren und nicht subtrahieren. Wo steckt der Fehler?
Ab $ [mm] {\Delta} [/mm] \ x$ = positive Werte also größer 5000 muss ich doch mit 0,55 rechnen $ [mm] {\Delta} [/mm] \ y = [mm] 0,55(5000+{\Delta} [/mm] \ x)-0,55(5000)$ in der Lösung zum Beispiel bei 0,01 kommt -249,9945 raus und mit wachsenden $ [mm] {\Delta} [/mm] \ x$ bleiben die Werte in etwa gleich. Da komme ich aber überhaupt nicht darauf:
$ [mm] {\Delta} [/mm] \ y = 0,55(5000+0,01)-0,55(5000)$ = 0,0055. Wo steckt hier der Fehler? Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Du hast schon richtig gerechnet. Ich kann mir aber vorstellen, dass in der Lösung jeweils für die Werte [mm] $\Delta [/mm] y$ die Beträge aufgelistet wurden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 03.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Loddar,
in der Lösung steht es so:
$ [mm] \Delta [/mm] y $ | 6 | 0,6 | 0,06 | 0,006 | - | -249,9945 | -249,945 | -249,45 | -244,5 |
> Du hast schon richtig gerechnet. Ich kann mir aber
> vorstellen, dass in der Lösung jeweils für die Werte [mm]\Delta y[/mm]
> die Beträge aufgelistet wurden.
für $ [mm] \Delta [/mm] y $ gilt dies: $ [mm] {\Delta} [/mm] y = [mm] f(x0+{\Delta} [/mm] \ x)-f(x0) $, okay. aber wie komme ich dann auf die Beträge? Wenn ich mir den linksseitigen Grenzwert anschaue, dann würde es passen. alle negativen [mm] $\Delta [/mm] x$ -Werte werden durch den Betrag positiv, stimmt oder? Nur wie kommen die auf $ [mm] \Delta [/mm] y $ = -249,9945 bei $ [mm] {\Delta} [/mm] x $ = 0,01? Da bekomme ich dies heraus: $ [mm] {\Delta} [/mm] y = 0,55(5000+0,01)-0,55(5000) $ = 0,0055. Vielen Dank im Voraus, itse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 03.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
könnte es sich jemand mal anschauen, wo mein Fehler liegt und was es mit den Beträgen auf sich hat? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 03.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
überprüfe doch bitte noch einmal deine Funktion f(x).
So wie du sie angegeben hast, ist die bei 5000 gar nicht definiert. Dann läßt sich der gewünschte Grenzwert auch nicht berechnen. Ich vermute, daß in einem der beiden Fälle in der Funktion tatsächlich ein Kleiner-Gleich stehen muß.
Es ist aber wichtig, wo..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Do 04.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> überprüfe doch bitte noch einmal deine Funktion f(x).
> So wie du sie angegeben hast, ist die bei 5000 gar nicht
> definiert. Dann läßt sich der gewünschte Grenzwert auch
> nicht berechnen. Ich vermute, daß in einem der beiden Fälle
> in der Funktion tatsächlich ein Kleiner-Gleich stehen muß.
>
> Es ist aber wichtig, wo..
$ [mm] $f(x)=\left\{\begin{matrix} 0,60 \cdot{} x, & \mbox{für }\mbox{ 0 < x < = 5000} \\ 0,55 \cdot{} x, & \mbox{für }\mbox{ 5000 < x } \end{matrix}\right.$ [/mm] $
Nun hab ich das Gleichheitszeichen ergänzt. Für 5000 < x kann ich ja auch x > 5000 schreiben, somit ist die Funktion 0,60 * x von 0 bis 5000 definiert und die Funktion 0,55 * x ab 5000 definiert. Nur wie komme ich nun weiter? Ich hab ja schon so gerechnet, nur von links (0-5000; 0,60 * x) sind meine Werte negativ und in der Lösung positiv und von rechts (ab 5000; 0,55 * x) komme ich überhaupt nicht auf die Ergebnisse in der Lösung, siehe oben. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Do 04.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
zu den Ergebnissen des zweiten Teils:
[mm] f(x_0)=f(5000)=0,6*5000 [/mm] denn für x=5000 gilt ja NICHT f(x)=0,55x wie du eingesetzt hast! sieh dir die Definition deiner Funktion an.
zum ersten Teil: wenn ihr nicht [mm] \Delta y=|f(x_0+\Delta x)-f(x_0)| [/mm] definiert habt, kommt wie du gerechnet hast die negativen Zahlen raus.
es gibt aber auch die Möglichkeit, dass ihr für den linksseitigen GW [mm] f(x_0)-f(x_0+\Delta [/mm] x) definiert habt, da musst du bei eurer Definition nachsehen!
Was du sehen sollst, ist dass der linkseitige GW gegen 0 geht, der rechtseitige GW aber gegen 250 geht. Er ist ja nicht beinahe überall gleich, sondern geht mit kleinerem [mm] \Deltax [/mm] immer mehr gegen 250, so wie der von links immer näher an 0 rückt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 04.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> zu den Ergebnissen des zweiten Teils:
> [mm]f(x_0)=f(5000)=0,6*5000[/mm] denn für x=5000 gilt ja NICHT
> f(x)=0,55x wie du eingesetzt hast! sieh dir die Definition
> deiner Funktion an.
Für x=5000 gilt 0,60 * x, das ist schon klar. An der Stelle x0=5000 macht der Graph einen Sprung und mit Hilfe der Grenzwertbetrachtung soll nun überprüft werden ob es einen eindeutigen Grenzwert gibt und somit kann man dann auch eine Ableitung herleiten. Wenn aber x > 5000 ist, gibt es einen Rabatt und die Funktion lautet: 0,55 * x, man soll ja für [mm] ${\Delta x}$ [/mm] verschiedene Werte einsetzen und ausrechnen was für [mm] ${\Delta y}$ [/mm] rauskommt, und wenn [mm] ${\Delta x}$ [/mm] positiv ist dann ist der Wert > 5000 und man muss diese f(x)=0,55*x benutzen. Also frag ich mich, wie man auf die Werte in der Lösung gelangt?
> zum ersten Teil: wenn ihr nicht [mm]\Delta y=|f(x_0+\Delta x)-f(x_0)|[/mm]
> definiert habt, kommt wie du gerechnet hast die negativen
> Zahlen raus.
> es gibt aber auch die Möglichkeit, dass ihr für den
> linksseitigen GW [mm]f(x_0)-f(x_0+\Delta[/mm] x) definiert habt, da
> musst du bei eurer Definition nachsehen!
Wir haben dies definiert: [mm]\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)[/mm], aber man hat sich wahrscheinlich bei der Lösung gedacht, dass negative Werte keinen Sinn machen und somit diese einfach positiviert.
> Was du sehen sollst, ist dass der linkseitige GW gegen 0
> geht, der rechtseitige GW aber gegen 250 geht. Er ist ja
> nicht beinahe überall gleich, sondern geht mit kleinerem
> [mm]\Deltax[/mm] immer mehr gegen 250, so wie der von links immer
> näher an 0 rückt.
links bedeutet für mich von 0-5000 und von rechts 5000 - unendlich, weil ja von links die [mm]\Delta x[/mm] -Werte immer kleiner werden und wenn dann x0=5000 werden die [mm]\Delta x[/mm] -Werte immer größer. Ja und somit gibt es keinen eindeutigen GW, es exisitiert keine Ableitung und es ist nicht differenzierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Do 04.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
ich glaube du wirfst da einige Dinge etwas durcheinander.
Die Grenzwertbetrachtung hat zunächst mit der Ableitung wenig zu tun. Allenfalls so viel:
Wenn der Grenzwert nicht gleich Null ist, dann ist die Funktion dort nicht stetig (das ist in diesem Fall offensichtlich so) und dann kann die Ableitung dort auf keinen Fall existieren.
Wenn andererseits die Funktion dort stetig wäre, dann wäre das immer noch keine Garantie dafür, daß dir Ableitung existiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Do 04.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Die Grenzwertbetrachtung hat zunächst mit der Ableitung
> wenig zu tun. Allenfalls so viel:
>
> Wenn der Grenzwert nicht gleich Null ist, dann ist die
> Funktion dort nicht stetig (das ist in diesem Fall
> offensichtlich so) und dann kann die Ableitung dort auf
> keinen Fall existieren.
so meinte ich dies
> Wenn andererseits die Funktion dort stetig wäre, dann wäre
> das immer noch keine Garantie dafür, daß dir Ableitung
> existiert.
Da hast du Recht.
Ich möchte eigentlich nur wissen wie man auf die Werte für 5000 < x kommt? Dafür kann man ja auch x > 5000 schreiben? Wie auch schon im vorherigen Post erwähnt:
Wenn aber x > 5000 ist, gibt es einen Rabatt und die Funktion lautet: 0,55 * x, man soll ja für $ [mm] {\Delta x} [/mm] $ verschiedene Werte einsetzen und ausrechnen was für $ [mm] {\Delta y} [/mm] $ rauskommt, siehe oben, und wenn $ [mm] {\Delta x} [/mm] $ positiv ist dann ist der Wert > 5000 und man muss diese f(x)=0,55*x benutzen. Also frag ich mich, wie man auf die Werte in der Lösung gelangt, siehe oben? Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
wenn ich das ganze Hin und Her richtig interpretiere, geht es Dir darum, wie Du auf die richtigen Werte für [mm] \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) [/mm] kommst.
[mm] x_0 [/mm] ist hier [mm] x_0=5000.
[/mm]
Zu berechen ist also jeweils [mm] f(5000+\Delta x)-f(5000)=f(5000+\Delta x)-0.6*5000=f(5000+\Delta [/mm] x)-3000.
Ich tue das exemplarisch für [mm] \Delta [/mm] x=-0.1 und für [mm] \Delta [/mm] x=+0.1
[mm] \Delta [/mm] x=-0.1:
Es ist [mm] f(5000+\Delta [/mm] x)-3000=f(4999,9)-3000=0.6*4999,9-3000=-0.06
[mm] \Delta [/mm] x=+0.1:
Es ist [mm] f(5000+\Delta [/mm] x)-3000=f(5000,1)-3000=0.55*5000.1-3000=-249.9450
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Do 04.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> wenn ich das ganze Hin und Her richtig interpretiere, geht
> es Dir darum, wie Du auf die richtigen Werte für [mm]\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)[/mm]
> kommst.
>
> [mm]x_0[/mm] ist hier [mm]x_0=5000.[/mm]
>
> Zu berechen ist also jeweils [mm]f(5000+\Delta x)-f(5000)=f(5000+\Delta x)-0.6*5000=f(5000+\Delta[/mm]
> x)-3000.
>
> Ich tue das exemplarisch für [mm]\Delta[/mm] x=-0.1 und für [mm]\Delta[/mm]
> x=+0.1
>
> [mm]\Delta[/mm] x=-0.1:
>
> Es ist [mm]f(5000+\Delta[/mm]
> x)-3000=f(4999,9)-3000=0.6*4999,9-3000=-0.06
>
>
>
> [mm]\Delta[/mm] x=+0.1:
>
> Es ist [mm]f(5000+\Delta[/mm]
> x)-3000=f(5000,1)-3000=0.55*5000.1-3000=-249.9450
Vielen Dank für die Antwort, nun meine letzte Frage. Also mein Fehler war der f(x0)-Ausdruck, ich habe diesen Ausdruck immer mit 0,60 oder mit 0,55 multipliziert je nachdem wie groß [mm] ${\Delta x}$ [/mm] war. Warum bleibt dieser immer gleich (3000), wegen der Definition, weil 0 < x <= 5000 somit für x=5000, 0,60 * x, oder? Wenn ja dann muss ich mir die Aufgaben von nun an genauer ansehen, ansonsen verschenkt man wegen Leichtsinnsfehlern punkte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 04.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> Warum bleibt dieser immer gleich (3000), wegen der Definition,
> weil 0 < x <= 5000 somit für x=5000, 0,60 * x, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
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< dann muss ich mir
> die Aufgaben von nun an genauer ansehen, ansonsen
> verschenkt man wegen Leichtsinnsfehlern punkte.
Sich die Aufgaben genau und in Ruhe durchzulesen ist eine unglaublich gute Idee!!!
Es steigert die Wahrscheinlichkeit ungemein, daß man gleich das Richtige tut, und spart somit auch eine Menge Zeit.
Gruß v. Angela
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