Grenzwert: Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 So 03.05.2009 | | Autor: | Teradil |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für die rekursiv definierte Folge
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \sqrt{2+a_n}
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \sqrt{2}
[/mm]
der Grenzwert der Folge 2 ist. |
Das ist eine ganz häßliche "Kettenwurzel" ;) Wenn ich da eine explizite Darstellung der Folge hätte, käme ich damit wohl besser zurecht. Aber mit der rekursiven will es einfach nicht hinhauen. Ich habe da leider überhaupt keinen Ansatz. :(
Mir würde auch erstmal ein Nachweis reichen, dass die Folge überhaupt beschränkt ist.
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Die Hauptarbeit liegt darin, die Konvergenz der Folge zu zeigen. Ist das einmal erledigt und [mm]\alpha[/mm] der Grenzwert, dann ist der Rest ein Klacks. Geht man nämlich in der Rekursionsbeziehung zum Grenzwert über, folgt
[mm]\alpha = \sqrt{2 + \alpha}[/mm]
Und weil [mm]\alpha>0[/mm] sein muß (warum?), kann der Grenzwert aus der Gleichung ermittelt werden.
Zur Konvergenz: Zeige zunächst, daß [mm]0 < a_n < 2[/mm] ist. Für [mm]n=0[/mm] ist das klar. Und jetzt Induktion mit Hilfe der Rekursionbeziehung. Zeige dann in einem zweiten Schritt, daß die Folge streng monoton wächst. Die Rechnung dazu ist eine unmittelbare Konsequenz des ersten Schritts.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 03.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teradil!
Sieh mal hier, da wurde diese rekursive Folge ausgiebigst diskutiert.
Gruß
Loddar
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