Grenzwert Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 21.11.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Folge mit dem angegebenen Grenzwert konvergiert.
[mm] a_n = \wurzel[n]{h} [/mm] [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n = 1 [/mm] |
Nach dem Grenzwertkriterium gilt:
[mm] \forall \epsilon >0 \exists n_{\epsilon} \in \IN \forall n \ge n_{\epsilon} : |a_n - a|< \epsilon [/mm]
aber ich bekomme das hier nicht nach n aufgelöst:
[mm] \wurzel[n]{h} = exp ( n * ln ( h) )[/mm]
Das wars auch schon. Wie komm ich da weiter. Oder gibt es noch einen besseren Ansatz?
Ich steck hier leider fest.
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Hallo ella,
> Nach dem Grenzwertkriterium gilt:
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists n_{\epsilon} \in \IN \forall n \ge n_{\epsilon} : |a_n - a|< \epsilon[/mm]
Jo.
> aber ich bekomme das hier nicht nach n aufgelöst:
>
> [mm]\wurzel[n]{h} = exp ( n * ln ( h) )[/mm]
Stimmt auch noch nicht: [mm] \wurzel[n]{h}=e^{\blue{\bruch{1}{n}}\ln{h}}
[/mm]
Nur ist das nicht nach n aufzulösen, auf beiden Seiten steht ja das gleiche. Es ist durch Äquivalenzumformungen ineinander überzuführen. Und aus einer Gleichung wie a=a kann man a nicht bestimmen.
> Das wars auch schon. Wie komm ich da weiter. Oder gibt es
> noch einen besseren Ansatz?
Versuch mal [mm] (1+a)^n=h. [/mm] Damit solltest Du leichter zum Ziel kommen. Es reicht die Annahme |a|<1.
Grüße
reverend
PS: Ich nehme an, Ihr dürft nicht verwenden, dass auch [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 21.11.2010 | | Autor: | ella87 |
Hi!
> Stimmt auch noch nicht:
> [mm]\wurzel[n]{h}=e^{\blue{\bruch{1}{n}}\ln{h}}[/mm]
danke
>
> Nur ist das nicht nach n aufzulösen, auf beiden Seiten
> steht ja das gleiche. Es ist durch Äquivalenzumformungen
> ineinander überzuführen. Und aus einer Gleichung wie a=a
> kann man a nicht bestimmen.
hier hab ich mich blöd ausgedrückt. Ich will [mm] |a_n -a |< \epsilon [/mm] nach n auflösen. So haben wir das immer gemacht.
> Versuch mal [mm](1+a)^n=h.[/mm] Damit solltest Du leichter zum Ziel
> kommen. Es reicht die Annahme |a|<1.
>
das versteh ich nicht. a ist doch der Grenzwert. Wieso geht das? oder ist das ein anderes a? ja, oder? dann versteh ich glaub ich wie es gehen könnte. ich rechne das grad mal...
> PS: Ich nehme an, Ihr dürft nicht verwenden, dass auch
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] gegen 1 konvergiert?
>
leider nicht!
danke schonmal!
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Hallo nochmal,
> hier hab ich mich blöd ausgedrückt. Ich will [mm]|a_n -a |< \epsilon[/mm]
> nach n auflösen. So haben wir das immer gemacht.
Ja, aber das geht hier eben nicht.
> > Versuch mal [mm](1+a)^n=h.[/mm] Damit solltest Du leichter zum Ziel
> > kommen. Es reicht die Annahme |a|<1.
>
> das versteh ich nicht. a ist doch der Grenzwert. Wieso geht
> das? oder ist das ein anderes a? ja, oder? dann versteh ich
> glaub ich wie es gehen könnte. ich rechne das grad mal...
Ah, pardon. Ja, es ist ein anderes a. Nennen wir es also b oder irgendwie anders, um Verwechslung zu vermeiden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 21.11.2010 | | Autor: | ella87 |
kann man einfach sagen, dass
[mm] h= (1+x)^n [/mm] ist , weil [mm] h \in \IR^+ [/mm] bel. ist, aber fest.
1. warum kann man das?
wenn das geht, dann hat man:
[mm] |a_n -a | = | \wurzel[n]{(1+x)^n} - 1|= |1+x-1|=|x| < \epsilon [/mm]
und ein solches [mm]\epsilon [/mm] kann man finden.
das wärs dann ja schon.
aber warum geht das mit dem [mm] (1+x)^n [/mm] ? [mm] 1+x[/mm] ist noch logisch...
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Hallo nochmal,
ok, die Idee ist klar, aber Du musst sie noch "sauber" aufschreiben.
Wir hatten [mm] a_n=\wurzel[n]{h} [/mm] mit [mm] h\in\IR^+\setminus\{0\}
[/mm]
Nun definieren wir [mm] b_n=a_n-1, [/mm] also [mm] b_n+1=a_n [/mm] bzw. [mm] (1+b_n)^n=h
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist. Genau dann ist der Grenzwert a der Folge [mm] a_n [/mm] gleich 1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 21.11.2010 | | Autor: | ella87 |
> Hallo nochmal,
>
> ok, die Idee ist klar, aber Du musst sie noch "sauber"
> aufschreiben.
leider doch nicht so ganz.
Warum setzte ich [mm] b_n = a_n -1 [/mm]? Das kommt doch von dem [mm]\epsilon [/mm]-Kriterium oder? da hat man ja [mm] |a_n-1| < \epsilon[/mm] , kommt aber so nicht klar, richtig?
Die Idee ist mir nicht ganz klar.
> Wir hatten [mm]a_n=\wurzel[n]{h}[/mm] mit [mm]h\in\IR^+\setminus\{0\}[/mm]
>
> Nun definieren wir [mm]b_n=a_n-1,[/mm] also [mm]b_n+1=a_n[/mm] bzw.
> [mm](1+b_n)^n=h[/mm]
>
> Zu zeigen ist nun, dass [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge ist. Genau dann
> ist der Grenzwert a der Folge [mm]a_n[/mm] gleich 1.
>
Ich versteh das Vorgehen leider nicht so ganz. So: (?)
Das [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist, kann man ja ganz einfach erkären, weil [mm](1+b_n)^n=h[/mm] [mm] \forall n \in \IN [/mm] konstant ist. Damit bleibt nur die 0 übrig für alle Folgemitglieder von [mm] b_n [/mm].
daraus folgt dann:
[mm]|a_n - a| = [(b_n + 1) -1| = |1-1| < \epsilon [/mm] wobei das letzte "=" gilt, weil [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist und das "<" , weil [mm] \epsilon \in \IR^+ \ \{0 \}[/mm]
Korrekt??
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst zeigen
[mm]|\wurzel[n]{h}-1|<\epsilon
[/mm]
oft ist es aber einfacher zu zeigen, dass etwas eine nullfolge ist. nimm erstmal h>1 dann hast du
[mm]\wurzel[n]{h}-1<\epsilon
[/mm] jetzt setze [mm] b_n=[/mm] [mm]\wurzel[n]{h}-1
[/mm] und zeige dass [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist.
also es gibt ein N sodass [mm] |b_n\< \epsilon [/mm] für alle n>N
das N musst du jetzt suchen, mit dem Wissen [mm] (b_n+1)^n=h
[/mm]
was du schreibst: "$ [mm] (1+b_n)^n=h [/mm] $ $ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $ konstant ist" ist sicher falsch [mm]\wurzel[7]{h} und \wurzel[27]{h}
[/mm] sind sicher verschieden falls h nicht grade 1 ist.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 21.11.2010 | | Autor: | ella87 |
> Hallo
> du willst zeigen
> [mm]|\wurzel[n]{h}-1|<\epsilon
[/mm]
> oft ist es aber einfacher zu zeigen, dass etwas eine
> nullfolge ist. nimm erstmal h>1 dann hast du
> [mm]\wurzel[n]{h}-1<\epsilon
[/mm] jetzt setze [mm]b_n=[/mm] [mm]\wurzel[n]{h}-1
[/mm] und zeige dass [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge ist.
> also es gibt ein N sodass [mm]|b_n\< \epsilon[/mm] für alle n>N
> das N musst du jetzt suchen, mit dem Wissen [mm](b_n+1)^n=h[/mm]
> was du schreibst: "[mm] (1+b_n)^n=h[/mm] [mm]\forall n \in \IN[/mm] konstant
> ist" ist sicher falsch [mm]\wurzel[7]{h} und \wurzel[27]{h}
[/mm]
> sind sicher verschieden falls h nicht grade 1 ist.
Sorry, ich begreife einfach nicht was ich machen soll. Oder wie! Man zeigt also, dass [mm] b_n[/mm] gegen Null konvergiert, weil man ja [mm]b_n = a_n - 1 [/mm] gewählt hat und dann aus [mm]a_n - b_n =1 [/mm] und dann aus der Regel für den Grenzwert von der Summe zweier Folgen folgern kann, dass der Grenzwert für [mm] a_n [/mm] gleich 1 ist.
Richtig?
ich komm mit dem n-te Wurzel überhaupt nicht zurecht.
Ich muss also zeigen, dass [mm]b_n = \wurzel[n]{h} - 1 [/mm] gegen Null konvergiert, ja?
nur wie? ich kann damit nicht rechnen. In meinen Augen hab ich mich hier im Kreis gedreht!
ich verstehe auch [mm] (1+b_n)^n=h[/mm] nicht so 100%-ig. h muss doch eigentlich bel. aber FEST sein oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mo 22.11.2010 | | Autor: | ella87 |
Hat denn niemand den entscheidenden letzten Tipp für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mi 24.11.2010 | | Autor: | ella87 |
Hab die Aufgabe gelöst! Danke für die Hilfe!
Für mich war die Bernoulli-Ungleichung ein Weg zur Lösung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 24.11.2010 | | Autor: | reverend |
Aha. Klingt interessant. Wie hast Du das also gemacht?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Do 25.11.2010 | | Autor: | ella87 |
bin mal gespannt ob das richtig war.
wir haben die Bernoulli-Ungleichung definiert als:
[mm] (1+y)^n \ge 1+ny [/mm]
also [mm]1+y \ge \wurzel[n]{1+ny} [/mm]
dann ist also [mm] x = 1+ny [/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm] y= \bruch{x-1}{n}[/mm]
also hat man [mm]\wurzel[n]{x} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1+n(\bruch{x-1}{n})} [/mm] [mm]\le [/mm] [mm] 1+\bruch{x-1}{n}[/mm]
[mm]\gdw x [/mm] [mm] \le [/mm] [mm] (1+\bruch{x-1}{n})^n [/mm]
oder [mm] \wurzel[n]{x} [/mm][mm] \le [/mm] [mm] 1+ \bruch{x-1}{n} [/mm]
dann habe ich [mm] [n_{\epsilon} [/mm] = [mm] \bruch{x-1}{\epsilon} [/mm] +1 [/mm] gewählt
dann gilt für [mm] x \ge 1 [/mm] [mm] |\wurzel[n]{x} - 1| =\wurzel[n]{x} - 1 \le \bruch{x-1}{n} [/mm]
und für [mm]n > n_{\epsilon} [/mm] ist dann [mm] [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - 1| < [mm] \epsilon
[/mm]
Also konvergiert [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] gegen 1
und für [mm]0
ich fands logisch und gut =) mal sehn wie der KOrrekteur das sieht....
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