Grenzwert, Hospital, taylor < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 16.05.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Limes
[mm] \lim_{x\rightarrow 0} (\frac{12 \sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} [/mm] + [mm] \frac{2 \arctan(x^4)}{\ln(1+x^4)}). [/mm] |
Hallo,
Ich wollte einer Freundin helfen, jedoch komme ich bei dem Bsp. selbst nicht weiter.
Wenn man annimmt, dass beide Quotienten einen Grenzwert haben kann ich sie mir getrennt ansehen
Beim rechten Quotienten hilft einmal Hospital, denn es kürzt sich alles weg: [mm] \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2 \arctan(x^4)}{\ln(1+x^4)}=2
[/mm]
Nun hat man beim anderen Quotienten auch einen Ausdruck [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] aber man müsste 4 mal Hospital anwenden und da soll sogar der Professor gesagt haben, dass Hospital hier zu aufwändig ist und er das sicher nicht mit Hospital lösen würde.
Nunja jetzt hätte ich an Taylorreihen gedacht:
[mm] \sin(x)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x [/mm] - [mm] \frac{x^3}{3!} +O(x^5) [/mm] für [mm] x\rightarrow [/mm] 0
[mm] e^x [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
[/mm]
[mm] e^{x^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}= [/mm] 1+ [mm] x^2+ O(x^4) [/mm] für [mm] x\rightarrow [/mm] 0
[mm] \lim_{x\rightarrow 0} (\frac{12 \sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4})= [/mm] 12 [mm] \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{[3-e^{x^2}-2cos(x)]^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{[3-(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!})-2cos(x)]^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x^4}= \lim_{x\rightarrow0} \frac{(3-(1+ x^2+ O(x^4)) - 2 \cos(x)) - \frac{(3-(1+ x^2+ O(x^4)) - 2 \cos(x))^3}{3!} +O((3-(1+ x^2+ O(x^4)) - 2 \cos(x))^5) }{x^4}
[/mm]
Bin aber noch auf keinen wirklichen Lösungweg gekommen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 16.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sissi!
Deine Idee führt zum Ziel, wenn du zusätzlich die Reihendarstellung
der Kosinusfunktion benutzt. Fahrplan:
Wir setzen
[mm] f(x):=\sin(3-e^{x^2}-2\cos(x)).
[/mm]
1. Die Funktionen [mm] $x\mapsto e^{x^2}$ [/mm] und [mm] $x\mapsto \cos(x)$ [/mm] als Reihendarstellungen in die
Reihendarstellung der Sinusfunktion einsetzen.
2. Für die ersten Indizes die erhaltene Reihe aufschreiben und kürzen.
(Kontrollergebnis: [mm] f(x)=-\frac{7}{12}x^4-\frac{59}{360}x^6+\mathcal{O}(x^7).)
[/mm]
3. Offensichtlich erhalten wir
[mm] $\frac{12}{x^4}*f(x)\to [/mm] -7$ für [mm] $x\to [/mm] 0$,
so dass (mit L'Hôpital, Grenzwertsätzen, ...) gilt
[mm] $\frac{12}{x^4}*f(x)+\frac{2 \arctan(x^4)}{\ln(1+x^4)})\to [/mm] -7+2=-5$ für [mm] $x\to [/mm] 0$.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 So 17.05.2015 | | Autor: | sissile |
Wie erhaltest du den einfachen Term?
$ [mm] \sin(x)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x [/mm] $ - $ [mm] \frac{x^3}{3!} +O(x^5) [/mm] $ für $ [mm] x\rightarrow [/mm] $ 0
$ [mm] e^{x^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}= [/mm] $ 1+ $ [mm] x^2+\frac{x^4}{2!}+O(x^6) [/mm] $ für $ [mm] x\rightarrow [/mm] $ 0
[mm] cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-O(x^6)
[/mm]
[mm] f(x)=(3-e^{x^2} [/mm] - 2 [mm] cos(x))-\frac{(3-e^{x^2} - 2 cos(x))^3}{3!} [/mm] + [mm] O((3-e^{x^2} [/mm] - 2 [mm] cos(x))^5) [/mm] = [mm] (-\frac{7}{12} x^4 +O(x^6)+2O(x^6))-\frac{(-\frac{7}{12}x^4 +O(x^6)+2O(x^6))^3}{3!}+O((-\frac{7}{12} x^4 +O(x^6)+2O(x^6))^5)= (-\frac{7}{12}x^4 +O(x^6))-\frac{(-\frac{7}{12}x^4 +O(x^6))^3}{3!}+O((-\frac{7}{12}x^4 +O(x^6))^5)
[/mm]
Verwende [mm] O(x^a) [/mm] + [mm] O(x^b)= O(x^{min(a,b)}) [/mm] und [mm] O(x)*O(x)=O(x^2), [/mm] c*O(x)=O(x) und [mm] x^b O(x^a)=O(x^{a+b})
[/mm]
[mm] =-\frac{7}{12}x^4 [/mm] + [mm] O(x^6) [/mm] - [mm] \frac{\frac{7^3}{12^3} x^{12} +O(x^{14})-O(x^{12})+O(x^{18})}{3!}+O[(-\frac{7}{12} x^4 [/mm] + [mm] O(x^6))^5]= -\frac{7}{12}x^4 [/mm] + [mm] O(x^6) [/mm] - [mm] \frac{7^3}{6*12^3} x^{12} -O(x^{14})+O[(-\frac{7}{12} x^4 [/mm] + [mm] O(x^6))^5]
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 17.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Du siehst den Wald vor lauter [mm] $\mathcal{O}$'s [/mm] nicht. 
Mit [mm] g(x):=3-e^{x^2}-2\cos(x) [/mm] erhalten wir
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{(-1)^k\frac{(g(x))^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{=:h_k(x)}\qquad\qquad(=\sin(g(x))\quad=\quad [/mm] f(x))$.
Für [mm] $k=0\$ [/mm] gilt
[mm] $h_0(x)\$
[/mm]
[mm] $=g(x)\$
[/mm]
[mm] $=3-(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots)-2*(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\pm\ldots)$
[/mm]
$= [mm] -x^4*(\frac{7}{12}+\frac{59}{360}x^2+\ldots)$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow \frac{h_0(x)}{x^4}\to -\frac{7}{12}$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$.
Für [mm] $k=1\$ [/mm] gilt
[mm] $h_1(x)\$
[/mm]
[mm] $=(-1)*\frac{(g(x))^3}{3!}\$
[/mm]
[mm] $\overset{\text{siehe oben}}{=}(-1)*\frac{\left(-x^4*(\frac{7}{12}+\frac{59}{360}x^2+\ldots)\right)^3}{3!}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^{12}*(\frac{7}{12}+\frac{59}{360}x^2+\ldots)^3}{3!}$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow \frac{h_1(x)}{x^4}\to [/mm] 0$ für [mm] $x\to [/mm] 0$.
Für alle [mm] $k\ge [/mm] 1$ also induktiv
[mm] $\frac{h_k(x)}{x^4}\to [/mm] 0$ für [mm] $x\to [/mm] 0$,
so dass
[mm] $f(x)/x^4=\sum_{k=0}^{\infty}h_k(x)/x^4\to -\frac{7}{12}\$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 So 17.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Meine Idee:
[mm] \frac{12 \sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4},
[/mm]
wobei [mm] h(x)=3-e^{x^2} [/mm] - 2 [mm] \cos(x)
[/mm]
h(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
Das Aufstellen der Potenzreihe von h ist wesentlich einfacher als das Gedöns in den Sinus einzusetzen.
Der Grenzwert von [mm] \bruch{sin(h(x))}{h(x)} [/mm] dürfte klar sein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 17.05.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
Supa Einfall!
[mm] \frac{h(x)}{x^4}= \frac{3-e^{x^2} - 2cos(x)}{x^4}=\frac{-\frac{7}{12}x^4 - O(x^6)+O(x^6)}{x^4}=-\frac{7}{12} [/mm] - [mm] \frac{O(x^6)}{x^4}+\frac{O(x^6)}{x^4}\rightarrow -\frac{7}{12} -C_1 [/mm] + [mm] C_2
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher ob ich [mm] O(x^6) [/mm] nun streichen darf, ich weiß nur [mm] \exists [/mm] C>0: [mm] |O(x^6)| \le [/mm] C [mm] |x^6| [/mm] für x nahe bei 0
[mm] |O(x^6)| \le [/mm] C [mm] |x^6| \le [/mm] C [mm] |x^4|
[/mm]
[mm] \Rightarrow O(x^6) \in O(x^4)
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:37 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Du scheinst Os ganz doll lieb zu haben ....
[mm] g(x)=O(x^6) [/mm] (x [mm] \to [/mm] 0) bedeutet: es gibt eine Umgebung U von 0 und ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit
|g(x)| [mm] \le c|x^6| [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U.
Dann: [mm] \bruch{|g(x)|}{x^4}\le c|x|^2 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U mit x [mm] \ne [/mm] 0.
Was treibt nun [mm] \bruch{g(x)}{x^4} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 17.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred!
Gute Idee, aber ich habe einen kleinen Tippfehler entdeckt:
> [mm]\frac{12 \sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4},[/mm]
Du meinst
[mm] \frac{\sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4}.
[/mm]
Ansonsten funktioniert (selbstverständlich auch)
[mm] 12*\frac{\sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =12*\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 So 17.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> Gute Idee, aber ich habe einen kleinen Tippfehler
> entdeckt:
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> > [mm]\frac{12 \sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4},[/mm]
>
> Du meinst
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> [mm]\frac{\sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4}.[/mm]
>
> Ansonsten funktioniert (selbstverständlich auch)
>
> [mm]12*\frac{\sin(3-e^{x^2} - 2 \cos(x))}{x^4} =12*\bruch{sin(h(x))}{h(x)}*\bruch{h(x)}{x^4}.[/mm]
Hallo Du Acht,
Du machst Deinem Namen mal wieder alle Ehre ! Ja, die zwölf hab ich verdummbeutelt, weil ich gestern was auf die Zwölf bekommen habe. Danke fürs Acht geben.
HochAchtungsvoll
FREE
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>
> Gruß
> DieAcht
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