Grenzwert Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert
(i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)}
[/mm]
(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} (\bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x}) [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR \backslash \{0\} [/mm] |
Guten Tag,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.
Zu (i): Es gilt [mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}} \le \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} \le \wurzel[n]{2n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{n} [/mm]
Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} \wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{n} [/mm] = 1.
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} [/mm] = 1. Stimmt das so?
Zu (ii): Hier habe ich nur: [mm] \bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha- \alpha*x -1}{1-x^{\alpha+1}}
[/mm]
Würde mich über einen Tipp freuen.
LG Loriot95
|
|
| |
|
Hallo Loriot!
Hier hast Du den Hauptnenner der beiden Brüche falsch gebildet.
Es gilt:
[mm]1-x^\alpha \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{\alpha-1}\right)[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mi 23.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo roadrunner,
> Hallo Loriot!
>
>
> Hier hast Du den Hauptnenner der beiden Brüche falsch
> gebildet.
>
> Es gilt:
>
> [mm]1-x^\alpha \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{\alpha-1}\right)[/mm]
Bei der Aufgabe ist aber $ [mm] \alpha \in \IR \backslash \{0\} [/mm] $, also nicht notwendig natürlich. Deswegen sehe ich noch nicht, wie das helfen soll.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
LG
|
|
|
| |
|
> [mm]1-x^\alpha \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{\alpha-1}\right)[/mm]
Dies passt, falls [mm] \alpha\in\IN [/mm] , was aber nicht vorausgesetzt war ...
LG Al
|
|
|
| |
|
Hallo Loriot,
> Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> Grenzwert
> (i) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)}[/mm]
>
> (ii) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} (\bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{1-x})[/mm] mit [mm]\alpha \in \IR \backslash \{0\}[/mm]
>
> Guten Tag,
>
> ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.
>
> Zu (i): Es gilt [mm]\wurzel[n]{\wurzel{n}} \le \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} \le \wurzel[n]{2n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{n}[/mm]
Die linke Abschätzung gilt erst sicher ab n= ... ?
>
> Also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}}[/mm] = [mm][mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} \wurzel[n]{2}= [/mm] 1.
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)}[/mm] = 1. Stimmt das so? (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
>
> Zu (ii): Hier habe ich nur: [mm]\bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha- \alpha*x -1}{1-x^{\alpha+1}}[/mm]
Es sollte heißen:
[mm] \qquad $\frac{\alpha}{1-x^{\alpha}}-\bruch{1}{1-x}=\frac{\alpha(1-x)-1(1-x^\alpha)}{(1-x^\alpha)(1-x)}=\frac{\alpha-\alpha x-1+x^\alpha}{1-x-x^\alpha+x^{\alpha+1}}$ [/mm]
Das sieht verdächtig nach L'Hospital [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] aus. Und dann nochmal.
>
> Würde mich über einen Tipp freuen.
>
> LG Loriot95
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Vielen Dank an euch ;)
|
|
|
|
