Grenzwert Folge mit Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 20.04.2012 | | Autor: | qetu |
| Aufgabe | Untersuche die Folge auf Konvergenz und gib ggf. ihren Grenzwert an:
[mm] $a_n=\sqrt{n^2+3n} [/mm] - [mm] \sqrt{n^2-n}$ [/mm] |
Lieber Matheraum,
bei folgender Aufgabe komme ich auf keinen grünen Zweig. Ich habe zunächst erwweitert und die dritte bin. Formel angewandt, doch wie geht es jetzt weiter?
[mm] \sqrt{n^2+3n} [/mm] - [mm] \sqrt{n^2-n} [/mm]
= [mm] \frac{(\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n}) * (\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} [/mm]
= [mm] \frac{n^2+3n-n^2+n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}}
[/mm]
= [mm] \frac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} [/mm]
= [mm] \frac{4}{\frac{\sqrt{n^2+3n}}{n} + \frac{\sqrt{n^2-n}}{n}}
[/mm]
Was mache ich nun mit den Wurzeln im Nenner?
qetu
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Hallo qetu,
> Untersuche die Folge auf Konvergenz und gib ggf. ihren
> Grenzwert an:
>
> [mm]a_n=\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n}[/mm]
> Lieber Matheraum,
>
> bei folgender Aufgabe komme ich auf keinen grünen Zweig.
> Ich habe zunächst erwweitert und die dritte bin. Formel
> angewandt, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") doch wie geht es jetzt weiter?
>
> [mm]\sqrt{n^2+3n}[/mm] - [mm]\sqrt{n^2-n}[/mm]
> = [mm]\frac{(\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n}) * (\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}}[/mm]
> = [mm]\frac{n^2+3n-n^2+n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}}[/mm]
> =
> [mm]\frac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}}[/mm]
Klammere hier unter den Wurzeln im Nenner jeweils [mm]n^2[/mm] aus und ziehe es gem. [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt a\cdot{}\sqrt b[/mm] als [mm]n[/mm] heraus.
Dann [mm]n[/mm] im Nenner ausklammern, kürzen gegen das [mm]n[/mm] im Zähler und [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen ...
> = [mm]\frac{4}{\frac{\sqrt{n^2+3n}}{n} + \frac{\sqrt{n^2-n}}{n}}[/mm]
>
> Was mache ich nun mit den Wurzeln im Nenner?
>
> qetu
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 20.04.2012 | | Autor: | qetu |
Hallo schachuzipus,
danke für deine Antwort.
> Dann [mm]n[/mm] im Nenner ausklammern, kürzen gegen das [mm]n[/mm] im
> Zähler und [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen ...
Ich erhalte dann $ [mm] \frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} [/mm] $
Darf ich nun einfach den Limes in die Wurzel reinziehen? Gilt also beispielsweise für die erste Wurzel [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{1+\frac{3}{n}} [/mm] = [mm] \sqrt{\limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n}} [/mm] = [mm] \sqrt{1 + 0} [/mm] = 1$? Und falls ja, gilt dies allgemein für Potenzen? Ich finde hierzu leider nichts.
Gruß qetu
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Hallo qetu,
> Hallo schachuzipus,
>
> danke für deine Antwort.
>
> > Dann [mm]n[/mm] im Nenner ausklammern, kürzen gegen das [mm]n[/mm] im
> > Zähler und [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen ...
>
> Ich erhalte dann [mm]\frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} [/mm]
>
> Darf ich nun einfach den Limes in die Wurzel reinziehen?
Ja.
> Gilt also beispielsweise für die erste Wurzel
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{1+\frac{3}{n}} = \sqrt{\limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n}} = \sqrt{1 + 0} = 1[/mm]?
> Und falls ja, gilt dies allgemein für Potenzen? Ich finde
Sofern die Exponenten feste Zahlen sind, gilt das.
> hierzu leider nichts.
>
> Gruß qetu
Gruss
MathePower
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