Grenzwert Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 16.01.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo :) !
Ich möchte gern den Grenzwert
der Folge : [mm] a_{n} [/mm] = [mm] 0,3^{n}*n^{2} [/mm] berechnen.
[mm] "0*\infty" [/mm] ergibt was?
Wie kann den Grenzwert hier berechnen ?
Danke schon mal für eure Hilfe.
Fry
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:40 So 16.01.2005 | | Autor: | CobDac |
Huhu,
wir du sicher weisst ist
[mm]"0*\infty"[/mm] = 0
und was ist dein rpoblem daran ??
mfg
CobDac
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 So 16.01.2005 | | Autor: | CobDac |
hallo, wie kann man die antwort editieren ? bzw. was ist falsch dran
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Hallo CobDac,
nach deiner Argumentation ginge die Folge (n) also auch gegen Null, denn wenn man sich den Grenzwert $ (n) = [mm] \left(\bruch{1}{n}\cdot n^2 \right) [/mm] $ anschaut, erhält man $ 0 [mm] \cdot \infty [/mm] = 0 $ ...
Das geht also leider ziemlich daneben. "$ 0 [mm] \cdot \infty$" [/mm] ist zunächst mal gar nicht definiert - wenn man bei Grenzwertbetrachtungen dieses Resultat erhält, muss man sich etwas einfallen lassen. Zum Beispiel:
[mm] $0,3^n \cdot n^2 [/mm] = [mm] \operatorname{exp}\left(\operatorname{log}(0,3)\cdot n \right) \cdot n^2$
[/mm]
Wenn man nun weiß, dass die Exponentialfunktion "schneller" konvergiert als jedes Polynom, und sieht, dass [mm] $\operatorname{log}(0.3)$ [/mm] eine negative Zahl ergibt, dann kann man daraus ableiten, dass die Folge gegen Null konvergieren muss.
- Marcel
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Wie in der Mitteilung weiter unten schon erwähnt, ist [mm]0 \cdot \infty[/mm] nicht definiert.
Das kannst du hier so umgehen: du machst einen Bruch aus dem Produkt, der für [mm]n \to \infty[/mm] entweder [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] hervorbringt. Somit kannst du dann die Regeln von de l'Hôpital anwenden.
Hier würd ich das so machen: [mm](0,3)^n\ =\ (\bruch{3}{10})^n\ =\ (\bruch{10}{3})^{-n}[/mm], und somit:
[mm]\limes_{n \to \infty} {0,3^n \cdot n^2}\ =\ \limes_{n \to \infty} {(\bruch{10}{3})^{-n} \cdot n^2\ =\ \limes_{n \to \infty} {\bruch{n^2}{(\bruch{10}{3})^n}[/mm]
Hier sind die Voraussetzungen für l'Hôpital offensichtlich gegeben, und nach zweimaligem Anwenden seiner Rechenregel hast du im Zähler eine Konstante, und im Nenner etwas, das [mm]\to \infty[/mm] geht - fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mo 17.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Zu meinem Lösungsweg wollt ich noch was dazuschreiben, worauf mich Marcel aufmerksam gemacht hat (danke!):
Zuerst haben wir ja eine Funktion, die aus den natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen abgebildet wird (so ne Folge macht ja nix anderes). Nur isses bei ner Funktion, die im Definitionsbereich nur natürliche Zahlen hat, mit der Differenzierbarkeit nicht so weit her - aber das braucht man ja, um l'Hôpital anzuwenden.
Abhilfe: aus der Folge macht man einfach die Funktion [mm]g(x)=0,3^x \cdot x^2[/mm], und die ist diff'bar. Und da das n bzw. das x sowieso [mm]\to \infty[/mm] gehen müssen, isses wurscht, bei welcher wir die Variable [mm]\to \infty[/mm] gehen lassen - aber bei [mm]g(x)[/mm] können wir wenigstens mit guten Gewissen ableiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank für eure Antworten, haben mir sehr weitergeholfen.
Gruß
Fry
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