Grenzwert Eulersche Zahl e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Freddy33 |
| Aufgabe | Geben Sie den folgenden Grenzwert an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^n [/mm] |
Meine Frage ist, warum dieser Grenzwert [mm] \infty [/mm] ist,
aber der von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = e ist?
Für sehr große n geht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] doch genauso gegen 0?
Im Skript steht nur: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 12.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Meine Frage ist, warum dieser Grenzwert [mm]\infty[/mm] ist,
> aber der von
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = e ist?
>
> Für sehr große n geht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] doch genauso gegen 0?
Allerdings schneller als es [mm]\bruch{1}{\sqrt n}[/mm] tut.
>
> Im Skript steht nur:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Versuche es mal mit der Bernoulli-Ungleichung: [mm] $(1+h)^n\ge(1+nh)$, [/mm] mit [mm] $h\ge [/mm] -1$ und $n [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm] beliebig.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 12.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie den folgenden Grenzwert an:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^n[/mm]
> Meine Frage ist, warum dieser Grenzwert [mm]\infty[/mm] ist,
Hallo, auch der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^\sqrt{n}[/mm] ist e.
Du hast aber den Term [mm](1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^n =((1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^{\sqrt{n}})^\sqrt{n}[/mm], der damit sozusagen gegen [mm]e^\sqrt{n}[/mm] geht.
Gruß Abakus
> aber der von
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = e ist?
>
> Für sehr große n geht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] doch genauso gegen 0?
>
> Im Skript steht nur:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Di 13.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Freddy33 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Geben Sie den folgenden Grenzwert an:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^n[/mm]
Dazu hat dir Andy schon einen sehr guten Tipp gegeben.
> Meine Frage ist, warum dieser Grenzwert [mm]\infty[/mm] ist,
> aber der von
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = e ist?
>
> Für sehr große n geht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] doch genauso gegen 0?
Du darfst den Grenzwert nicht reinziehen. Sowas wie
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{\wurzel{n}})^n=(\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{\wurzel{n}}))^n
[/mm]
macht keinen Sinn.
> Im Skript steht nur:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
Ja, für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Für [mm] $x=1\$ [/mm] erhalten wir also
[mm] \lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e^1=e.
[/mm]
Alles klar?
Gruß
DieAcht
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