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Hallo, ich habe ein grosses Problem. Ich muss den Grenzwert von
an= -5²+4n-4 / 5n²-7n-1
gesucht [mm] \limes an_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
Beweisen schriftlich und weiß nicht wie ich das anstellen soll. Die Lösung ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = -1/5.
Hat der Lehrer uns vorgegeben . Nur der Beweis fehlt mir, ich weiß absolut nicht wie ich das anstellen soll. Könnt ihr mir bitte helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo The_Holy_One,
auch Dir natürlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> Hallo, ich habe ein grosses Problem. Ich muss den Grenzwert
> von
>
> an= -5²+4n-4 / 5n²-7n-1
> gesucht [mm]\limes an_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
>
> Beweisen schriftlich und weiß nicht wie ich das anstellen
> soll. Die Lösung ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] =
> -1/5.
Leider ist Deine Folgenvorschrift nicht eindeutig zu erkennen.
Aufgrund des Grenzwertes vermute ich mal:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-n^2+4n-4}{5n^2-7n-1}$
[/mm]
Bitte das nächste mal den Formel-Editor ... (das ist nicht schwer).
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-n^2+4n-4}{5n^2-7n-1}$
[/mm]
Zunächst kürzen wir mal durch die höchste Potenz von $n$, das wäre hier [mm] $n^2$:
[/mm]
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\bruch{n^2}{n^2}+\bruch{4n}{n^2}-\bruch{4}{n^2}}{\bruch{5*n^2}{n^2}-\bruch{7n}{n^2}-\bruch{1}{n^2}}$
[/mm]
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-1+\bruch{4}{n}-\bruch{4}{n^2}}{5-\bruch{7}{n}-\bruch{1}{n^2}}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter für die Grenzwertbetrachtung?
Gruß
Loddar
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Vielen lieben dank erstmal für die schnelle Hilfe! Beim nächsten Mal nehme ich den Formel Edi, versprochen. Danke für die aufschlüsselung, dass hilft schonmal weiter, nur mit den Beweisen habe ich meine Probleme, wie würdest du das schreiben oder was muss man da schreiben? Der tunnel ist bei mir sehr lang *g* bis ich´s verstanden habe. Wie komme ich dann weiter auf das ergebnis das der grenzwert - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] beträgt? danke dir schonmal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 26.01.2005 | | Autor: | volta |
Das Ergebnis steht doch schon fast da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+\bruch{4}{n}-\bruch{4}{n^2}}{5-\bruch{7}{n}-\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
Nun weiss man, daß die hier noch von n abhängenden Summanden Nullfolgen sind. Außerdem sind die Grenzwertsätze anwendbar.
Somit ergibt sich als Grenzwert [mm] \bruch{-1+0-0}{5-0-0}, [/mm] also [mm] -\bruch{1}{5}.
[/mm]
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eine ganz blöde frage noch von mir, kann man die formel auch nach n umstellen? und würde das als beweis reichen, fals es vorgetragen werden muss?
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ja, man kann, adreab83, eine interessante Frage;
es ergibt für n eine Quadratische Gleichung mit den Lösungen
$n = [mm] \frac{1}{2(5a_n +1)}*( [/mm] ...)$ von denen die eine für [mm] $a_n \rightarrow \frac{-1}{5}$ gegen$\infty$geht.
[/mm]
ist
eine ziemlich lästige Rechnerei und ob's wage ich nicht zu sagen
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