Grenzwert >0 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Fr 29.10.2010 | | Autor: | kaspanda |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine konvergente Folge, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] > 0. Zeigen Sie, dass N [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] a_{n} \not= [/mm] 0. |
Hallo zusammen,
zu o.g. Aufgabe komme ich einfach nicht weiter.
Mein Ansatz bislang: Widerspruchsbeweis.
Annahme: es existiert ein [mm] a_{n} [/mm] = 0 für n [mm] \ge [/mm] N.
Sei a:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] > 0.
Nach Definition der Konvergenz gilt für ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] > 0, dass [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |0 - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ab diesem Punkt komme ich nicht weiter. Ich habe versucht, die Dreinecksungleichung zu verwenden, stocke aber bei der korrekten Anwendung.
Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen... DANKE VORAB!
kaspanda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kaspanda,
warum indirekt, wenns schöner und schneller doch direkt geht?
> Nach Definition der Konvergenz gilt für ein beliebiges
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0, dass [mm]|a_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon.[/mm]
Nunja, da fehlen einige Quantoren davor..... aber nun denn.
Wenn a > 0 ist, setze [mm] $\varepsilon [/mm] = a$.
Was weisst du dann über das Intervall [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] = (0,2a)$ ?
Du hast es ja letztlich schon dastehen....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Fr 29.10.2010 | | Autor: | kaspanda |
Hey,
danke für die superschnelle Antwort.
Ich habe also [mm] \varepsilon [/mm] = a gesetzt und komme auf folgendes
> Nunja, da fehlen einige Quantoren davor..... aber nun
> denn.
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_{n} [/mm] - [mm] \varepsilon| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Hier würde ich jetzt wiederum per Widerspruch arbeiten - zu umständlich?
Annahme: [mm] a_{n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] |0 - [mm] \varepsilon| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dadurch entsteht ein Widerspruch.
[mm] \Rightarrow a_{n} \not= [/mm] 0
[mm] \Box
[/mm]
> [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon) = (0,2a)[/mm] ?
> Du hast es ja letztlich schon dastehen....
>
> MFG,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Fr 29.10.2010 | | Autor: | kaspanda |
Entschuldigt, ich habe zu früh aus Senden geklickt. Neben der Lösung noch eine Frage was du mit dem Intervall meinst? Mir ist die Abbildung auf einem Zahlenstrahl klar, aber was soll ich aus [mm] (a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] = (0,2a) erkennen?
Sorry, stehe grad etwas auf dem Schlauch...
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Huhu,
du scheinst anschaulich noch nicht verstanden zu haben, was es bedeutet, dass [mm] $a_n \to [/mm] a$ geht.
Du verwendest immer den Betrag in der Definition des Grenzwerts, ohne dir wirklich klar zu sein, was er bedeutet.
Mach dir mal folgendes klar, dass man für reelle Zahlenfolgen auch folgende Definition von Konvergenz gegen einen Wert a verwenden kann (bzw. dass die Definition mithilfe des Betrags genau das aussagt):
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] a_n \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ [/mm] für fast alle n
Dabei bedeutet "für fast alle", dass es für unendlich viele n's gilt und nur für endlich viele nicht.
Setze ich nun [mm] $\varepsilon [/mm] = a$, erhält man für positive a:
[mm] $a_n \in [/mm] (0,2a)$ für fast alle n und da das offene Intervall die Grenzen nicht beinhaltet, gilt insbesondere [mm] $a_n \not= [/mm] 0$ für fast alle n!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 29.10.2010 | | Autor: | kaspanda |
Danke Dir für die Hilfe - jetzt hab ich das in der Tat zum ersten mal richtig verstanden!!! Super
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