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| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert.
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{2-\wurzel{x-3}}{x^2-49} [/mm] |
Hallo,
als Ergebnis muss -1/56 rauskommen.Bei mir kommt aber immer 0 raus. Könnt ihr bitte kontrollieren, wo mein Fehler liegt.
mein Rechenweg
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{2-\wurzel{x-3})}{x^2-49}
[/mm]
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{(2-\wurzel{x-3}) (2+\wurzel{x-3}}{(x^2-49)(2+\wurzel{x-3}}
[/mm]
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{4-(x-3)}{(x^2-49)(2+\wurzel{x-3}}
[/mm]
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{4/x-(1-3/x)}{(x-49/x)(2/x+\wurzel{1-3/x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{4/7-(1-3/7)}{(7-49/7)(2/7+\wurzel{1-3/7}}=0
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 25.08.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{2-\wurzel{x-3})}{x^2-49}[/mm]
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{(2-\wurzel{x-3}) (2+\wurzel{x-3}}{(x^2-49)(2+\wurzel{x-3}}[/mm]
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{4-(x-3)}{(x^2-49)(2+\wurzel{x-3}}[/mm]
Vereinfachen ergibt
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{7-x}{(x-7)(x+7)(2+\wurzel{x-3}} [/mm] und küren ergibt
[mm] \limes_{x \to 7} \bruch{-1}{(x+7)(2+\wurzel{x-3}}=-\bruch{1}{14*4}=-\bruch{1}{56}
[/mm]
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> Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert.
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{2-\wurzel{x-3}}{x^2-49}[/mm]
> Hallo,
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> als Ergebnis muss -1/56 rauskommen.Bei mir kommt aber immer
> 0 raus. Könnt ihr bitte kontrollieren, wo mein Fehler
> liegt.
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> mein Rechenweg
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{2-\wurzel{x-3})}{x^2-49}[/mm]
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{(2-\wurzel{x-3}) (2+\wurzel{x-3}}{(x^2-49)(2+\wurzel{x-3}}[/mm]
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{4-(x-3)}{(x^2-49)(2+\wurzel{x-3}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{4/x-(1-3/x)}{(x-49/x)(2/x+\wurzel{1-3/x}}[/mm]
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> [mm]\limes_{x \to 7} \bruch{4/7-(1-3/7)}{(7-49/7)(2/7+\wurzel{1-3/7}}=0[/mm]
Hallo,
Deine Umformungen sind nicht falsch, bloß hast Du am Ende einen Grenzwert vom Typ [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] und das ergibt nicht zwingend 0.
Du hast gegenüber dem ursprünglichen Problem also nichts gewonnen.
Wie's funktioniert, hat Dir ullim gesagt.
LG Angela
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 25.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit: mit [mm] f(x):=\wurzel{x-3} [/mm] ist
[mm] $\bruch{2-\wurzel{x-3}}{x^2-49}= -\bruch{1}{x+7}*\bruch{f(x)-f(7)}{x-7} \to -\bruch{1}{14}*f'(7)$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 7$
FRED
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