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Grenzwert: Warum unendlich?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Sa 02.02.2013
Autor: poeddl

Aufgabe
Ist die Funktion g mit [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] an der Stelle 0 differenzierbar?

[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}+1, & \mbox{für } x \mbox{ <= 0} \\ -x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases} [/mm]

Hallo,
es geht darum die Differenzierbarkeit zu überprüfen.
Dies mittels rechtsseitigem Grenzwert.
Leider verstehe ich nicht, warum dort [mm] -\infty [/mm] rauskommt...

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{-x^{2}-1}{x-0} [/mm] = [mm] -\infty [/mm]

Wer kann mir helfen?
Vielen Dank vorab!

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Sa 02.02.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{-x^{2}-1}{x-0}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]


es gilt [mm] $\bruch{-x^{2}-1}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{-x^2 -1}{x} [/mm] = -x - [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]

Nun klarer?

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Sa 02.02.2013
Autor: poeddl

Hallo,

leider nicht wirklich :(

Ich setze für x doch null ein (Da ich an der Stelle x=0 prüfe), oder?
Dann habe ich dort doch [mm] -0-\bruch{1}{0} [/mm] zu stehen.
Aber Division durch 0 ist ja nicht definiert.
Wo ist mein Denkfehler?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Sa 02.02.2013
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> leider nicht wirklich :(
>  
> Ich setze für x doch null ein (Da ich an der Stelle x=0
> prüfe), oder?


Nein , Du lässt x gegen 0 gehen.

Übrigends: die vorgelegte Funktion ist in x=0 nicht stetig. Dann kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.

FRED


>  Dann habe ich dort doch [mm]-0-\bruch{1}{0}[/mm] zu stehen.
>  Aber Division durch 0 ist ja nicht definiert.
>  Wo ist mein Denkfehler?


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Sa 02.02.2013
Autor: poeddl

Hallo,
danke für eure Antworten!
Das mit dem x gegen Null habe ich mir in der Zwischenzeit auch überlegt.
Also ist 1/x für x gegen Null immer unendlich?

Zu deinem Hinweis. Das dachte ich mir auch: Wenn eine Funktion nicht stetig ist, ist sie nicht differenzierbar oder? Sprich, das reicht ja als Nahweis?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Sa 02.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  danke für eure Antworten!
>  Das mit dem x gegen Null habe ich mir in der Zwischenzeit
> auch überlegt.
>  Also ist 1/x für x gegen Null immer unendlich?

nein: es gilt höchstens (sogar in [mm] $\IC$), [/mm] dass $|1/x| [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to 0\,$ [/mm]
(für $z [mm] \in \IC$ [/mm] besagt $z [mm] \to [/mm] 0$ per Definitionem eh nichts anderes, als dass $|z| [mm] \to 0\,.$) [/mm]
Nebenbei, es heißt: [mm] $|1/x|\,$ [/mm] strebt gegen (und nicht: "ist") [mm] $\infty$ [/mm] bei [mm] $x\,$ [/mm] gegen [mm] $0\,.$ [/mm]

> Zu deinem Hinweis. Das dachte ich mir auch: Wenn eine
> Funktion nicht stetig ist, ist sie nicht differenzierbar
> oder? Sprich, das reicht ja als Nahweis?

Ja:

    [mm] $f\,$ [/mm] ist diff'bar in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ $f\,$ [/mm] ist stetig in [mm] $x_0\,.$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm]

    [mm] $f\,$ [/mm] ist NICHT STETIG in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ $f\,$ [/mm] ist nicht diff'bar in [mm] $x_0$ [/mm]

Das ist die []Kontraposition

    $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
    
    [mm] $\iff$ [/mm]

    [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$

(die letztstehende Aussage ist die Kontraposition).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Sa 02.02.2013
Autor: poeddl

Wow, super!
Vielen, vielen Dank euch allen!
Jetzt hab sogar ich es verstanden.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Sa 02.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  danke für eure Antworten!
>  Das mit dem x gegen Null habe ich mir in der Zwischenzeit
> auch überlegt.
>  Also ist 1/x für x gegen Null immer unendlich?

neben der falschen Sprechweise, und nur, damit das klarer wird:
Was ist
[mm] $$\lim_{0 < x \to 0} [/mm] 1/x$$
im Vergleich zu
[mm] $$\lim_{0 > x \to 0} [/mm] 1/x$$
??

Gruß,
  Marcel

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