Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
mein dozent hat folgendes gerechnet
[mm] (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm]
das wird dann zu
= [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n} [/mm]
= [mm] \bruch{(1-\bruch{1}{n+1})^{n+1}}{(1-\bruch{1}{n+1})}
[/mm]
warum kann man in diesen beide Schritte umformen ?
und wenn man n--> [mm] \infty [/mm] laufen lässt, dann erhält man [mm] e^{-1}. [/mm]
Muss man dafür eigentlich nicht [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] benutzen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 So 15.04.2012 | | Autor: | barsch |
> mein dozent hat folgendes gerechnet
>
> [mm](\bruch{n}{n+1})^{n}[/mm]
> das wird dann zu
>
> = [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n}[/mm]
nein, das hat er (hoffentlich!) nicht
[mm](\bruch{n}{n+1})^{n}=\left ( 1 \ \ \red{-} \ \ \bruch{1}{n+1} \right )^n[/mm]
Wegen [mm]\left ( \bruch{n}{n+1} \right )^{n}=\left ( \bruch{n+1-1}{n+1} \right )^{n}=...[/mm]
>
>
>
> = [mm]\bruch{(1-\bruch{1}{n+1})^{n+1}}{(1-\bruch{1}{n+1})}[/mm]
Naja, [mm]\left ( 1 \ \ \red{-} \ \ \bruch{1}{n+1} \right )^n=\left ( 1 \ \ \red{-} \ \ \bruch{1}{n+1} \right )^n*\red{1}=...[/mm]
> warum kann man in diesen beide Schritte umformen ?
>
> und wenn man n--> [mm]\infty[/mm] laufen lässt, dann erhält man
> [mm]e^{-1}.[/mm]
>
> Muss man dafür eigentlich nicht [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> benutzen ?
Wenn dich das stört, setze [mm]k:=n+1[/mm] und bestimme [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
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> > mein dozent hat folgendes gerechnet
> >
> > [mm](\bruch{n}{n+1})^{n}[/mm]
> > das wird dann zu
> >
> > = [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n}[/mm]
>
> nein, das hat er (hoffentlich!) nicht
>
> [mm](\bruch{n}{n+1})^{n}=\left ( 1 \ \ \red{-} \ \ \bruch{1}{n+1} \right )^n[/mm]
>
> Wegen [mm]\left ( \bruch{n}{n+1} \right )^{n}=\left ( \bruch{n+1-1}{n+1} \right )^{n}=...[/mm]
>
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> >
> >
> >
> > = [mm]\bruch{(1-\bruch{1}{n+1})^{n+1}}{(1-\bruch{1}{n+1})}[/mm]
>
Ist dieser Schritt mit dem erweitern überhaupt notwendig?
Ich habe noch nicht ganz verstande voraus ich das [mm] e^{-1} [/mm] rauslese. Ist das wegen dem Minus vor dem bruch ?
> Naja, [mm]\left ( 1 \ \ \red{-} \ \ \bruch{1}{n+1} \right )^n=\left ( 1 \ \ \red{-} \ \ \bruch{1}{n+1} \right )^n*\red{1}=...[/mm]
>
> > warum kann man in diesen beide Schritte umformen ?
> >
> > und wenn man n--> [mm]\infty[/mm] laufen lässt, dann erhält man
> > [mm]e^{-1}.[/mm]
> >
> > Muss man dafür eigentlich nicht [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> > benutzen ?
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> Wenn dich das stört, setze [mm]k:=n+1[/mm] und bestimme
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 15.04.2012 | | Autor: | barsch |
Dein Prof will doch verwenden, dass [mm]\left ( 1+\bruch{x}{n} \right )^n[/mm] gegen [mm]e^x[/mm] konvergiert für [mm]n\to\infty[/mm]
Deswegen will er diesen Ausdruck [mm]\left ( \bruch{n}{n+1} \right )^n[/mm] eben auf eine solche Form bringen.
Dafür sind die Schritte notwendig, denn
[mm]\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )^n[/mm] hat eben noch nicht die Form. Deswegen diese Rechenschritte.
[mm]\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )^n*\bruch{\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )}{\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )}=\bruch{1}\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )}*\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )^{n+1}=\bruch{1}\left (1 - \bruch{1}{n+1} \right )}*\left (1 + \bruch{-1}{n+1} \right )^{n+1}[/mm]
Jetzt kannst du bekanntes verwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
Alles klar! Danke, habe es jetzt verstanden :)
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