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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 06.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] $\lim_{x\to \infty} \frac{cos(x^2)}{x}$ [/mm] |
Wie berechnet man diesen Grenzwert? de l'Hospital machts nur schwieriger, höchste Potenz ausklammern geht auch nicht weil man ja aus einem cos() keine Potenzen bzw. Variablen ausklammern darf. Da bin ich doch richtig dabei, dass man das nicht darf, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 06.07.2011 | | Autor: | bandchef |
laut wikipedia darf man das so amchen:
[mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} [/mm] = [mm] \lim_{x \to \infty} \integral \frac{cos(x^2)}{x} [/mm] dx = ...$
Wie aber sieht's dann mit den Grenzen aus? In wikipedia steht da ein großes Omega an der Untergrenze und das war's. Das verstehe ich aber nicht. Oder integriert man unbestimmt und lässt dann den limes drauf los?
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> laut wikipedia darf man das so machen:
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> [mm]\lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} = \lim_{x \to \infty} \integral \frac{cos(x^2)}{x} dx = ...[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Wie aber sieht's dann mit den Grenzen aus? In wikipedia
> steht da ein großes Omega an der Untergrenze und das
> war's. Das verstehe ich aber nicht. Oder integriert man
> unbestimmt und lässt dann den limes drauf los?
Bei deiner Aufgabe gibt's doch überhaupt nichts zu integrieren ! Benütze einfach die Tatsache, dass die Cosinusfunktion beschränkt ist !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 06.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Die Cosinusfunktion ist ja zwischen -1 und 1 beschränkt. Da nun x gegen unendlich strebt, wird der Cosinus wohl 1 werden, der Nenner hingegen unendlich. Das heißt ich hab dann die Situation 1 geteilt unendlich was ja wiederum 0 wäre. Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Cosinusfunktion ist ja zwischen -1 und 1 beschränkt.
> Da nun x gegen unendlich strebt, wird der Cosinus wohl 1
> werden,
nein, nur: Der Kosinus wird betragsmäßig sicher kleinergleich 1 bleiben!
> der Nenner hingegen unendlich. Das heißt ich hab
> dann die Situation 1 geteilt unendlich was ja wiederum 0
> wäre. Stimmt das so?
Fast. Der Fehler in Deiner Argumenation ist, dass Du GLAUBST, dass
[mm] $$\lim_{x \to \infty}\cos(x^2)\red{=1}$$
[/mm]
gilt. Das ist aber Quatsch, denn
[mm] $$\not\exists \lim_{x \to \infty}\cos(x^2)$$
[/mm]
(Warum? Überlege Dir erstmal,warum [mm] $\lim_{x \to \infty}\cos(x)$ [/mm] nicht existiert, danach ist die Analogie einfach!)
In Wahrheit gilt:
$$0 [mm] \le \left|\frac{\cos(x^2)}{x}\right| \le [/mm] 1/x$$
für jedes $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
Jetzt läßt Du $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen, und siehst erstmal
[mm] $$\lim_{x \to \infty}0=0 \le \lim_{x \to \infty}\left|\frac{\cos(x^2)}{x}\right| \le 0=\lim_{x \to \infty} [/mm] (1/x)$$
[mm] $$\Rightarrow \lim_{x \to \infty}|\cos(x^2)/x|=0\,.$$
[/mm]
Damit ist wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion sicherlich [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x^2)}{x}$ [/mm] (falls existent) eine Nullstelle der Betragsfunktion. Fazit? (Beachte: Existenz des Limes ergibt sich dann wegen der Eindeutigkeit der Nullstelle der Betragsfunktion!)
Gruß,
Marcel
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