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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n+\wurzel{2n})/(n-\wurzel{3n}) [/mm] |
Hallo zusammen,
komm bei der Aufgabe nicht weiter. Die Lösung versteh ich ebenfalls nicht.
Mein Ansatz:
--> [mm] (n+\wurzel{2n})/(n-\wurzel{3n}) [/mm] * [mm] (n+\wurzel{3n})/(n+\wurzel{3n})
[/mm]
--> [mm] (n^{2}+n\wurzel{3n}+n\wurzel{2n}+n\wurzel{6})/n^{2}-3n
[/mm]
--> n ausklammern
--> [mm] (n+\wurzel{3n}+\wurzel{2n}+\wurzel{6})/n-3
[/mm]
--> durch hinsehen [mm] \infty
[/mm]
Lösung, die ich nicht verstehe:
--> [mm] (n+\wurzel{2n})/(n-\wurzel{3n})
[/mm]
--> [mm] (1+\wurzel{2}/\wurzel{n})/(1-\wurzel{3}/\wurzel{n}) [/mm]
--> 1+0/1-0
--> 1
1. Welcher Fehler liegt bei meiner Rechnung vor?
2. Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise bzw. Tipps/Tricks für die Grenzwertbestimmung? z.B. Nenner vereinfachen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Fr 01.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n+\wurzel{2n})/(n-\wurzel{3n})[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> komm bei der Aufgabe nicht weiter. Die Lösung versteh ich
> ebenfalls nicht.
>
> Mein Ansatz:
>
> --> [mm](n+\wurzel{2n})/(n-\wurzel{3n})[/mm] *
> [mm](n+\wurzel{3n})/(n+\wurzel{3n})[/mm]
> -->
> [mm](n^{2}+n\wurzel{3n}+n\wurzel{2n}+n\wurzel{6})/n^{2}-3n[/mm]
> --> n ausklammern
Klammere [mm] n^2 [/mm] aus
FRED
> --> [mm](n+\wurzel{3n}+\wurzel{2n}+\wurzel{6})/n-3[/mm]
> --> durch hinsehen [mm]\infty[/mm]
>
> Lösung, die ich nicht verstehe:
>
> --> [mm](n+\wurzel{2n})/(n-\wurzel{3n})[/mm]
> --> [mm](1+\wurzel{2}/\wurzel{n})/(1-\wurzel{3}/\wurzel{n})[/mm]
> --> 1+0/1-0
> --> 1
>
> 1. Welcher Fehler liegt bei meiner Rechnung vor?
> 2. Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise bzw.
> Tipps/Tricks für die Grenzwertbestimmung? z.B. Nenner
> vereinfachen?
>
>
> Danke!
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Ok, wenn ich [mm] n^{2} [/mm] ausklammere, erhalte ich 1 (die anderen Faktoren gehen ja alle gegen 0).
Wenn ich n ausklammere sieht das so aus als ginge es gegen [mm] \infty. [/mm] Warum?
Gibt es eine generelle Vorgehensweise (z.B. Nenner vereinfachen) beim Grenzwert berechnen?
Gruss
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Hallo Cyantific,
> Ok, wenn ich [mm]n^{2}[/mm] ausklammere, erhalte ich 1 (die anderen
> Faktoren gehen ja alle gegen 0).
Das ist richtig!
>
> Wenn ich n ausklammere sieht das so aus als ginge es gegen
> [mm]\infty.[/mm] Warum?
Du erhältst [mm] $\infty$ [/mm] im Zähler und im Nenner, oder nicht?
Und [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, das kann alles mögliche sein ...
>
> Gibt es eine generelle Vorgehensweise (z.B. Nenner
> vereinfachen) beim Grenzwert berechnen?
Für die Grenzwertbetrachtung [mm] $n\to\infty$ [/mm] bietet es sich oft an, die höchste vorkommende Potenz von $n$ auszuklammern ...
Aber ein Allgemeinrezept gibt es natürlich nicht ...
Hier kannst du mal direkt im Ausgangsterm (also ohne deine Umformung) $n$ in Zähler und Nenner ausklammern ...
>
> Gruss
LG
schachuzipus
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Ok! Hatte einen Denkfehler, dachte der Zähler wäre ein Stückchen größer - wobei dass kleine Stücken, bei einem unendlichen Nenner auch nicht mehr viel ausmacht :).
Hätte ich [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert käme (1/n)/(1/n) = 1 raus richtig?
gruss
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Hallo Cyantific,
> Ok! Hatte einen Denkfehler, dachte der Zähler wäre ein
> Stückchen größer - wobei dass kleine Stücken, bei einem
> unendlichen Nenner auch nicht mehr viel ausmacht :).
>
> Hätte ich [mm]n^2[/mm] ausgeklammert käme (1/n)/(1/n) = 1 raus
> richtig?
Nein, Fred meinte, dass Du [mm] n^2 [/mm] ausklammern sollst, nachdem Du mit [mm] n+\wurzel{3n} [/mm] erweitert hast.
Bei (1/n)/(1/n) hast Du doch wieder so einen unbestimmten Fall, das geht ja gegen [mm] \tfrac{0}{0} [/mm] - was wieder alles mögliche heißen kann. 42 zum Beispiel.
Grüße
reverend
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