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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert, falls er existiert:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) [/mm] |
wir haben keine keine Grenzwertsätze in der VL gemacht, deshalb habe ich eine Rückfrage:
[mm]\bruch{1}{x} \to 0 [/mm] für [mm] x \to \infty [/mm]
[mm]\Rightarrow sin\left( \bruch{1}{x} \right) \to 0 [/mm] für [mm] x \to \infty [/mm]
aber [mm] \wurzel{x} [/mm] divergiert für [mm] x \to \infty [/mm]
ist die 0 als Grenzwert "stärker" als [mm] \infty [/mm]?
also konvergiert der gesamte Ausdruck gegen 0 oder ist das was besonderes. wenn ja warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Di 07.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ella!
> Bestimmen Sie den Grenzwert, falls er existiert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]
>
> wir haben keine keine Grenzwertsätze in der VL gemacht,
> deshalb habe ich eine Rückfrage:
>
> [mm]\bruch{1}{x} \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow sin\left( \bruch{1}{x} \right) \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm]
>
> aber [mm]\wurzel{x}[/mm] divergiert für [mm]x \to \infty[/mm]
>
> ist die 0 als Grenzwert "stärker" als [mm]\infty [/mm]?
Nein, das ist von Fall zu Fall verschieden.
Hier liegt es an der Sinusfunktion. Man könnte sagen, dass [mm] $\sin\left( \bruch{1}{x} \right)$ [/mm] schneller gegen 0 geht als [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
> also
> konvergiert der gesamte Ausdruck gegen 0 oder ist das was
> besonderes. wenn ja warum?
Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Grenzwert zu betrachten. Häufig nimmt man dazu die Regeln von de l'Hospital.
Hier gibt's noch einen Trick mit der Anwendung des Grenzwerts [mm] \limes_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1[/mm] :
Dazu ersetze ich $x=1/y$. Dann geht y von oben (von positiven Werten her) gegen 0.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = \limes_{y\to 0+} \bruch{\sin y}{\wurzel{y}} = \limes_{y\to 0+} \wurzel{y} * \bruch{\sin y}{y}[/mm] .
Jetzt hast du ein Produkt, dessen erster Faktor [mm] $\wurzel{y}$ [/mm] gegen 0 und dessen zweiter Faktor gegen 1 geht.
Insgesamt ist also [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = 0[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
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> Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Grenzwert zu
> betrachten. Häufig nimmt man dazu die Regeln von de
> l'Hospital.
>
> Hier gibt's noch einen Trick mit der Anwendung des
> Grenzwerts [mm]\limes_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1[/mm] :
>
> Dazu ersetze ich [mm]x=1/y[/mm]. Dann geht y von oben (von positiven
> Werten her) gegen 0.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = \limes_{y\to 0+} \bruch{\sin y}{\wurzel{y}} = \limes_{y\to 0+} \wurzel{y} * \bruch{\sin y}{y}[/mm]
>
das man [mm] x= \bruch{1}{y}[/mm] kann ich nachvollziehen. Dann muss man den Limes gegen 0 laufen lassen, weil [mm] \bruch{1}{y}[/mm] dann gegen [mm] \infty [/mm] geht, stimmts?
> Jetzt hast du ein Produkt, dessen erster Faktor [mm]\wurzel{y}[/mm]
> gegen 0 und dessen zweiter Faktor gegen 1 geht.
>
> Insgesamt ist also [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = 0[/mm]
> .
>
>
> Viele Grüße
> Rainer
vielen Dank!!
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Hallo ella87,
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> >
> > Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Grenzwert zu
> > betrachten. Häufig nimmt man dazu die Regeln von de
> > l'Hospital.
> >
> > Hier gibt's noch einen Trick mit der Anwendung des
> > Grenzwerts [mm]\limes_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1[/mm] :
> >
> > Dazu ersetze ich [mm]x=1/y[/mm]. Dann geht y von oben (von positiven
> > Werten her) gegen 0.
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = \limes_{y\to 0+} \bruch{\sin y}{\wurzel{y}} = \limes_{y\to 0+} \wurzel{y} * \bruch{\sin y}{y}[/mm]
> >
>
> das man [mm]x= \bruch{1}{y}[/mm] kann ich nachvollziehen. Dann muss
> man den Limes gegen 0 laufen lassen, weil [mm]\bruch{1}{y}[/mm] dann
> gegen [mm]\infty[/mm] geht, stimmts?
>
So ist es.
>
> > Jetzt hast du ein Produkt, dessen erster Faktor [mm]\wurzel{y}[/mm]
> > gegen 0 und dessen zweiter Faktor gegen 1 geht.
> >
> > Insgesamt ist also [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = 0[/mm]
> > .
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> vielen Dank!!
>
Gruss
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