Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 21.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Gibt es eine möglichkeit den Grenzwert dieser funktion
[mm] \bruch{x^{m}-1}{x^{n}-1} [/mm] für x [mm] \mapsto [/mm] 1 und [mm] n,m\in \IZ\setminus \{0\}
[/mm]
ohne LHospitalscheRegel zu ermitteln?
Hab schon mehrmals rum probiert, komme aber nicht auf das ergebniss [mm] \bruch{m}{n}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ThomasK,
da ja sowohl der Zähler wie auch der nenner für $x=1$ Null werden, kannst du natürlich aus beiden den Faktor $(x-1)$ ausklammern, es gilt:
[mm] $\lim_{x\to 1}\frac{x^m-1}{x^n-1}=\lim_{x \to 1}\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots + x^2+x^1+1}{x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots + x^2+x^1+1}=\frac{1+1+\cdots+1+1+1}{1+1+\cdots+1+1}=\frac{m}{n}$
[/mm]
da im Zähler genau $m$ Summanden $1$ werden und im Nenner genau $n$ Summanden $1$ werden.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 21.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Max.
Danke für deine Antwort.
Ich hab da aber noch eine frage.
wie kommt man von [mm] x^{m} [/mm] - 1 auf [mm] x^{m-1} [/mm] +...+x+1, wenn ich aus(x-1)
ausklammern soll?
Danke schonmal im vorraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Führe doch einfach mal eine  Polynomdivision durch:
[mm] $\left(x^m - 1\right) [/mm] \ : \ (x-1) \ = \ ...$
Dann solltest Du exakt auf Max' Ergebnis kommen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Sa 21.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Loddar
Da hast du recht.
Danke.
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