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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge
[mm] c_{n}=(1+q+q^2+q^3+...+q^n)^{\bruch{1}{n}}, [/mm] 0<q<1 |
Hallo zusammen!
Ich kann die Musterlösung der o.g. Aufgabe nicht nachvollziehen:
[mm] c_n\ge\wurzel[n]{1}=1
[/mm]
[mm] c_n\le\wurzel[n]{\summe_{i=0}^{n}q^i}\le\wurzel[n]{\bruch{1}{1-q}}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{1-q}}\to1\Rightarrow c_{n}\to1
[/mm]
Da steckt ja die geometrische Reihe drin:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q} [/mm] für |q|<1
Aber wo kommen die ganzen Ungleichungen her?
Gruss,
Honko
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> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge
> [mm]c_{n}=(1+q+q^2+q^3+...+q^n)^{\bruch{1}{n}},[/mm] 0<q<1
> Hallo zusammen!
>
> Ich kann die Musterlösung der o.g. Aufgabe nicht
> nachvollziehen:
> [mm]c_n\ge\wurzel[n]{1}=1[/mm]
>
> [mm]c_n\le\wurzel[n]{\summe_{i=0}^{n}q^i}\le\wurzel[n]{\bruch{1}{1-q}}[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{1-q}}\to1\Rightarrow c_{n}\to1[/mm]
>
> Da steckt ja die geometrische Reihe drin:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}[/mm] für |q|<1
>
> Aber wo kommen die ganzen Ungleichungen her?
Hiho,
die Ungleichungen konstruiert man sich, um die Folge [mm] c_n [/mm] einzuschachteln (einige nennen das auch "Sandwich-Verfahren).
Es gilt ja offensichtlich:
$1 = [mm] \sqrt[n]{1} \le \sqrt[n]{1+q+q^2+q^3+...+q^n} [/mm] = [mm] c_n$
[/mm]
und:
[mm] $c_n [/mm] = [mm] \sqrt[n]{\summe_{i=0}^{n}q^i} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}} \le \sqrt[n]{\bruch{1}{1-q}}$
[/mm]
d.h. Zusammengefasst gilt:
$1 [mm] \le c_n \le \sqrt[n]{\bruch{1}{1-q}}$
[/mm]
und damit:
[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 1 [mm] \le \lim_{n\to\infty}c_n \le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bruch{1}{1-q}}$
[/mm]
und daher
$1 [mm] \le \lim_{n\to\infty}c_n \le [/mm] 1$
und es folgt sofort:
[mm] $\lim_{n\to\infty}c_n [/mm] = 1$
MFG,
Gono.
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> [mm]1 = \sqrt[n]{1} \le \sqrt[n]{1+q+q^2+q^3+...+q^n} = c_n[/mm]
>
> und:
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> [mm]c_n = \sqrt[n]{\summe_{i=0}^{n}q^i} = \sqrt[n]{\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}} \le \sqrt[n]{\bruch{1}{1-q}}[/mm]
Wie kommst du auf [mm] \sqrt[n]{\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}}?
[/mm]
Gruss,
Honko
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Das ist einfach die geometrische Summenformel für beliebiges q.
Dort gilt:
[mm] $\summe_{i=0}^{n}q^i= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] $
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier
MFG,
Gono.
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Vielen Dank!
Gruss,
Honko
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