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| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2} [/mm] |
Nun ja ich hab Probleme beim ausrechnen von diesem Grenzwert es wird am Ende recht kompliziert wo ich mich frage ob das wirklich so funktioniert oder ob man das nicht geschickt umformen kann über einen Tipp würd ich mich sehr freuen:
1. Ansatz
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)^{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{n^2ln\left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} {n^2ln\left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)} [/mm] = [mm] \frac{ln\left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)}{\frac{1}{n^2}} [/mm] ... l'H. macht den Ausdruck recht kompliziert
2.Ansatz
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{n^2ln\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} {n^2ln\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)} [/mm] = [mm] \frac{ln\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)}{\frac{1}{n^2}} [/mm] ...
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Hallo DrNetwork,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2}[/mm]
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> Nun ja ich hab Probleme beim ausrechnen von diesem
> Grenzwert es wird am Ende recht kompliziert wo ich mich
> frage ob das wirklich so funktioniert oder ob man das nicht
> geschickt umformen kann über einen Tipp würd ich mich
> sehr freuen:
>
> 1. Ansatz
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)^{n^2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{n^2ln\left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} {n^2ln\left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)}[/mm]
> =
> [mm]\frac{ln\left(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\right)}{\frac{1}{n^2}}[/mm]
> ... l'H. macht den Ausdruck recht kompliziert
>
> 2.Ansatz
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{n^2ln\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} {n^2ln\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)}[/mm]
> = [mm]\frac{ln\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)}{\frac{1}{n^2}}[/mm]
> ...
Der 2.Ansatz ist der m.E. bessere (auch im Sinne von wenig aufwendig...)
Aber das Umschreiben der Potenz mit der e-Funktion ist völlig unnötig.
Nach deinem Ansatz ist (richtig) [mm] $\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2}$
[/mm]
Nun nutze die Potenzgesetze, um den Exponenten auch auf [mm] $n^2-1$ [/mm] zu bringen:
[mm] $=\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2-1}\cdot{}\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^1$
[/mm]
Bedenke, dass mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] auch [mm] $n^2-1\to\infty$ [/mm] geht
Nun kannst du die Grenzwertsätze benutzen, den GW des ersten Faktors kennst du, den des zweiten auch.
Gruß
schachuzipus
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> Nach deinem Ansatz ist (richtig)
> [mm]\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2}[/mm]
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> Nun nutze die Potenzgesetze, um den Exponenten auch auf
> [mm]n^2-1[/mm] zu bringen:
>
> [mm]=\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2-1}\cdot{}\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^1[/mm]
>
> Bedenke, dass mit [mm]n\to\infty[/mm] auch [mm]n^2-1\to\infty[/mm] geht
>
> Nun kannst du die Grenzwertsätze benutzen, den GW des
> ersten Faktors kennst du, den des zweiten auch.
Hm, leider nein. Ich kann mir aber vorstellen das, das irgendwas mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] = e zu tun hat.
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Hallo nochmal,
> > Nach deinem Ansatz ist (richtig)
> > [mm]\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2}[/mm]
> >
> > Nun nutze die Potenzgesetze, um den Exponenten auch auf
> > [mm]n^2-1[/mm] zu bringen:
> >
> >
> [mm]=\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2-1}\cdot{}\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^1[/mm]
> >
> > Bedenke, dass mit [mm]n\to\infty[/mm] auch [mm]n^2-1\to\infty[/mm] geht
> >
> > Nun kannst du die Grenzwertsätze benutzen, den GW des
> > ersten Faktors kennst du, den des zweiten auch.
>
> Hm, leider nein. Ich kann mir aber vorstellen das, das
> irgendwas mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm] = e zu tun hat.
Das hat es in der Tat, ich nenne mal dein n lieber k:
Es ist [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{\red{1}}{k}\right)^k=e^{\red{1}}$
[/mm]
Und entsprechend [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{k}\right)^k=e^{\red{x}}$
[/mm]
Nun substituiere [mm] $k:=n^2-1$, [/mm] dann geht mit [mm] $k\to\infty$ [/mm] auch [mm] $n^2-1\to\infty$ [/mm] und [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2-1}=e^{2}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 31.01.2010 | | Autor: | DrNetwork |
> Und entsprechend
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{k}\right)^k=e^{\red{x}}[/mm]
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> Nun substituiere [mm]k:=n^2-1[/mm], dann geht mit [mm]k\to\infty[/mm] auch
> [mm]n^2-1\to\infty[/mm] und [mm]n\to\infty[/mm]
Aaah, danke das ist mir neu. :) Substituieren ist in der Regel auch kein Problem?
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