Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Do 05.11.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Man untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert :
(i) [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{n^{3} - 5}{n^{4} + 6} [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Nur weiß ich nicht, wie ich das nun formal beweisen kann.
Ich habe so angefangen :
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Ich suche ein [mm] \varepsilon \in \IN [/mm] , sodass | [mm] \bruch{n^{3} - 5}{n^{4} + 6} [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{\varepsilon}.
[/mm]
Jetzt müsste es doch reichen, das n auf einer Seite zu isolieren und wäre damit ja quasi fertig.
Habe ich das soweit richtig verstanden, oder muss ich ganz anders an diese Aufgabe rangehen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank.
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Hallo jales!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So geht es ...
Wenn es schwierig sein sollte, das $n_$ zu isolieren kann man auch den Bruchterm abschätzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 05.11.2009 | | Autor: | jales |
Vielen Dank. Mein Problem ist eben nun, dieses n zu isolieren. Will nicht klappen ...
Was genau ist mit "Bruchterm abschätzen" gemeint ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich machs Dir vor, und Du merkst Dir für die Zukunft diese Methode gut:
Zunächst ist [mm] $|n^3-5| \le n^3+5 \le 2n^3$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
Weiter ist [mm] $n^4+6 \ge n^4$, [/mm] also [mm] $\bruch{1}{n^4+6} \le \bruch{1}{n^4}$
[/mm]
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist dann
[mm] $|\bruch{n^3-5}{n^4+6}-0| \le \bruch{2n^3}{n^4}= \bruch{2}{n}$
[/mm]
Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben, so ex. ein N [mm] \ge [/mm] 2 in [mm] \IN [/mm] mit 2/n < [mm] \varepsilon [/mm] für n>N. somit:
[mm] $|\bruch{n^3-5}{n^4+6}-0| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für n>N
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 05.11.2009 | | Autor: | jales |
Vielen Dank schonmal, habe jedoch noch ein paar Rückfragen :
$ [mm] |n^3-5| \le n^3+5 \le 2n^3 [/mm] $
Warum [mm] 2n^3 [/mm] ? Wie komme ich darauf ? einfach festlegen, oder muss ich da etwas beachten ? Der Rest ist ansonsten klar.
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Hallo,
> Vielen Dank schonmal, habe jedoch noch ein paar Rückfragen
> :
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> [mm]|n^3-5| \le n^3+5 \le 2n^3[/mm]
>
>
> Warum [mm]2n^3[/mm] ? Wie komme ich darauf ? einfach festlegen, oder
> muss ich da etwas beachten ? Der Rest ist ansonsten klar.
Diese Abschätzung ist nicht zwingen notwendig, vereinfacht den Rest der Rechung aber beträchtlich, man kann im Weitern schön kürzen und bekommt ein "schönes" [mm] $n(\varepsilon)$; [/mm] du kannst auch was größeres nehmen, etwa [mm] $n^3+5\le 10000n^3$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 05.11.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | | (iii) [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n + 1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Mh, ich habe gerade versucht, diese Methode an der oben beschriebenen Aufgabe - abgewandelt - zu benutzen und komme nun nicht wirklich weiter.
Ich habe versucht, die beiden Wurzeln einzelnd abzuschätzen. Also ich sage, dass [mm] \wurzel{n +1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} \varepsilon [/mm] , und [mm] \wurzel{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} \varepsilon [/mm] ist.
Für [mm] \varepsilon [/mm] habe ich [mm] 2\wurzel{n} [/mm] gewählt. Somit erhalte ich, dass [mm] |\wurzel{n + 1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] - 0| < 6n .
Doch wie gehe ich nun weiter vor, wenn das, was ich gemacht habe, überhaupt erlaubt ist ?
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Hallo,
erweitere die Folge zunächst mit [mm] \wurzel{n+1}\red{+}\sqrt{n}. [/mm] Dann kannst du diese geschickt abschätzen, sodass du deinen Beweis führen kannst.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 05.11.2009 | | Autor: | jales |
Danke für den Tipp. Mein Problem ist nicht das Abschätzen an sich, ich habe bei solchen Funktionen nicht das Problem zu sehen, wogegen sie Konvergieren, mir fehlt es eher an dem Handwerkszeug, das alles auch genau zu beweisen, wie es die Aufgabe ja fordert.
Nach der Erweiterung, wie du sie geraten hast, erhalte ich ja :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}}
[/mm]
Das diese Folge den Grenzwert 0 hat, ist mir klar. Nur wie gehe ich jetzt mathematisch vor, dass auch klar zu zeigen ?
Es gilt ja :
[mm] |\bruch{1}{\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich verstehe einfach nicht, wie ich nun hieraus schließen kann, dass 0 wirklich der Grenzwert ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] |\bruch{1}{\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}}-0| \le \bruch{1}{ \wurzel{n}}$
[/mm]
"einen Bruch vergrößert man, indem man den Nenner verkleinert."
Gut merken !!
Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] für n > N.
Für n > N ist dann [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n}}< \varepsilon, [/mm] also
$ [mm] |\bruch{1}{\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}}-0| \le \varepsilon$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 05.11.2009 | | Autor: | jales |
Also um das mal für mich in Worte zu fassen.
Ich nehme mir die Folge [mm] a_{n}, [/mm] für die ja gelten muss : [mm] |a_{n} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] , wobei a hier der Grenzwert sein soll.
Dann ersetze ich das [mm] \varepsilon [/mm] durch einen Ausdruck, der ebenfalls von n abhägt, sodass die Ungleichung stimmt.
So, nun kommt das, was ich nicht so recht durchschauen will :
"Ist nun $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0, so ex. ein N $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon^2 [/mm] $ für n > N."
Fang ich mal klein an. Dass das [mm] \varepsilion [/mm] > 0 sein muss, weiß ich. N steht hier für die Indizes ? Also das n aus [mm] a_{n} [/mm] ist N ?
Danach hörts bei mir völlig auf. So recht werd ich doch nicht schlau daraus, ich denke immer, ich häts verstanden, will es dann anwenden und dann klappt es wieder nicht.
Könntest du mir das eventuell kurz in Worten erklären ? Wäre ne große Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch zeigen, zu jedem [mm] \epsilon [/mm] existiert ein N sodass für alle n>n gilt [mm] |an-a|<\epsilon.
[/mm]
Die Idee ist es dieses N zu finden, das natürlich von [mm] \epsilon [/mm] abhängt.
Es schadet nicht, ein unnötig grosses [mm] N(\epsilon) [/mm] zu finden, die Hauptsache irgeneins, das man zeigen kann.
oft mal geht man jetzt wenns einfacher ist den umgekehrten Weg, nimmt ein n und sucht das entsprechende [mm] \epsilon.
[/mm]
also etwa wie in deinem Beispiel [mm] 1/n<\epsilon^2
[/mm]
Das ist aber nur ein Rechentrick, weil man so schneller zu eigentlichen Ziel kommt n>ç.
Jetzt kannst du richtig begründen: wähle [mm] N=1/\epsilon^2
[/mm]
dann gilt [mm] |an-a|<\epsilon.
[/mm]
wie man auf das N gekommen ist ist egal! man tut so als fiele es vom Himmel und zeigt einfach dass dann die Ungleichung stimmt.
Und du hast recht, das irritiert viele Anfänger.
Gruss leduart
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> Man untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme
> gegebenenfalls den Grenzwert :
>
> (i) [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\bruch{n^{3} - 5}{n^{4} + 6}[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Nur weiß
> ich nicht, wie ich das nun formal beweisen kann.
>
> Ich habe so angefangen :
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Ich suche ein [mm]\varepsilon \in \IN[/mm] ,
> sodass | [mm]\bruch{n^{3} - 5}{n^{4} + 6}[/mm] - 0 | < [mm]\varepsilon[/mm]
> für alle n [mm]\ge n_{\varepsilon}.[/mm]
>
> Jetzt müsste es doch reichen, das n auf einer Seite zu
> isolieren und wäre damit ja quasi fertig.
> Habe ich das soweit richtig verstanden, oder muss ich ganz
> anders an diese Aufgabe rangehen ?
Hallo jales,
ist denn wirklich ein Epsilon-Beweis gefragt ?
Falls du bereits die sogenannten Grenzwertsätze kennst,
geht's nämlich deutlich einfacher !
Schau mal da nach:  Grenzwertsatz
LG
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