Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe 1 | | Bilde den Grenzwert siehe unten |
| Aufgabe 2 | Bilde den Grenzwert der Folge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^2+n+2}-\wurzel{4n^2+1} [/mm] |
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4+n^2+n+2-4n^2+1}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1- 1/n}
[/mm]
= 1
habe ich einen Fehler?
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> Bilde den Grenzwert siehe unten
> Bilde den Grenzwert der Folge
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^2+n+2}-\wurzel{4n^2+1}[/mm]
autsch! schön wärs, gäbe es diese rechenregel!
du musst erweitern um auf ein 3. binom zu kommen mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{4n^2+n+2}-\wurzel{4n^2+1})*\red{\frac{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}}
[/mm]
anschließend im zähler und nenner die höchste potenz ausklammern, kürzen und den grenzübergang machen
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4+n^2+n+2-4n^2+1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n-1}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{1- 1/n}[/mm]
> = 1
>
> habe ich einen Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac {\wurzel{n(4n+1)-2}-\wurzel{4n^2+1}*\wurzel{n(4n+1)-2}+\wurzel{4n^2+1}}{\wurzel{4n^2+n+2}+{\wurzel{4n^2+1}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\wurzel{4+1/n-2}-\wurzel{4+1/n^2}*\wurzel{4+1/n-2}+\wurzel{4+1/n^2}}{\wurzel{4+1/n+2/n^2}+{\wurzel{4+1/n^2}}}
[/mm]
hier dann die Grenzübergänge machen
wobei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/n^2 [/mm] = 0 ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo lisa11
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac {\wurzel{n(4n+1)-2}-\wurzel{4n^2+1}*\wurzel{n(4n+1)-2}+\wurzel{4n^2+1}}{\wurzel{4n^2+n+2}+{\wurzel{4n^2+1}}}[/mm]
Ich muss dich dafür loben, dass du den Formeleditor verwendest. Der Rest ist dir leider nicht so gelungen.
fencheltee hat geschrieben
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{4n^2+n+2}-\wurzel{4n^2+1})\cdot{}\red{\frac{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}} [/mm] $
Das ist nicht dasselbe, wie du schreibst. "Du musst das rote mit dem schwarzen Multiplizieren."
Das heißt
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^2+n+2}*\red{\frac{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}}-\wurzel{4n^2+1}\cdot{}\red{\frac{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}} [/mm] $
Und das rechnest du jetzt mal aus und postest hier wieder deine Rechnung.
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\wurzel{4+1/n-2}-\wurzel{4+1/n^2}*\wurzel{4+1/n-2}+\wurzel{4+1/n^2}}{\wurzel{4+1/n+2/n^2}+{\wurzel{4+1/n^2}}}[/mm]
> hier dann die Grenzübergänge machen
>
> wobei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1/n^2[/mm] = 0 ist
Das korrigiere ich jetzt nicht, war ja schon vorher falsch
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:14 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
dann geht aber im zähler die wurzel weg nur im nenner bleibt sie stehen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:20 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
das gibt einen extrem langen wurzelterm oben sowie unten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Disap |
> das gibt einen extrem langen wurzelterm oben sowie unten
der da wäre?
Rechnungen in Mathematik können schon mal länglicher sein und chaotisch ausschauen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Disap |
> dann geht aber im zähler die wurzel weg nur im nenner
> bleibt sie stehen
Ich zitiere Fencheltee aus seinem Beitrag:
anschließend im zähler und nenner die höchste potenz ausklammern, kürzen und den grenzübergang machen.
Ohne deine Rechnungen können wir nur abstrakt darüber reden.
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
1. Term gibt
[mm] \frac{3n^4+12n^3+29n^2+3n+6} {\wurzel{4n^2+n+2}+{\wurzel{4n^2+1}}}
[/mm]
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Hallo lisa11,
was machst du denn da?
Es ist doch
[mm] $\frac{(\sqrt{4n^2+n+2}-\sqrt{4n^2+1})\cdot{}\blue{(\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1})}}{\blue{\sqrt{4n^2+n+2}+\sqrt{4n^2+1}}}$ [/mm] zu berechnen.
Nun schaue mal genau hin anstatt im Zähler distributiv auszumultiplizieren.
Diese Erweiterung macht man ja nicht, um die Rechnung zu verkomplizieren, sondern um sie zu vereinfachen. So wirst du nämlich diese Wurzeldifferenz im Zähler los.
Im Zähler steht ein Produkt [mm] $(a-b)\cdot{}(a+b)$, [/mm] wobei [mm] $a=\sqrt{4n^2+n+2}$ [/mm] und [mm] $b=\sqrt{4n^2+1}$ [/mm] ist
Denke an die binomischen Formeln!
Also nochmal ran ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
ja gut den ersten term das ist ja völlig einfach
[mm] \frac{n-1}{{\wurzel{4n^2+n+2}}+{\wurzel{4n^2+1}}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ja gut den ersten term das ist ja völlig einfach
hmm, qu'est-ce que ça veut dire?
>
> [mm] $\frac{n\red{-}1}{{\wurzel{4n^2+n+2}}+{\wurzel{4n^2+1}}}$
[/mm]
Ich erhalte da ein [mm] $\red{+}$
[/mm]
Nun klammere im Zähler $n$ aus, im Nenner unter beiden Wurzeln jeweils [mm] $n^2$ [/mm] und ziehe es aus der Wurzel raus (gem. der Regel [mm] $\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}$)
[/mm]
Danach kannst du auch im Nenner $n$ ausklammern, es gegen das ausgeklammerte $n$ aus dem Zähler wegballern und den Grenzübegang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
somit habe ich dann
[mm] \frac{1+1/n} {{\wurzel{4+1/n+2/n^2}}+{\wurzel{4+1/n^2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1+0}{\wurzel{4}+\wurzel{4}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}
[/mm]
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Hallo lisa11,
> somit habe ich dann
>
> [mm]\frac{1+1/n} {{\wurzel{4+1/n+2/n^2}}+{\wurzel{4+1/n^2}}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1+0}{\wurzel{4}+\wurzel{4}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
jetzt habe ich noch eine Frage weiter unten zur Beschränktheit
ob dies richtig so ist....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mo 05.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo steht die Frage?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
bei der Monotonie einen thread tiefer
danke
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