Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hallo zusammen,
ich soll den Grenzwert folgender Funktionen bestimmen:
1. [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a^x -1}{x} [/mm] , a>0
und
[mm] 2.\limes_{x \rightarrow\ x_{0}} \bruch{x^k -x_{0}^k}{x-x_{0}}
[/mm]
Zu 1. : Ich weiß, dass als Lösung für den Grenzwert ln(a) rauskommen muss und hab mir überlegt, dass ich [mm] a^x [/mm] wohl umschreiben muss in exp(x*ln(a)), aber dann hört's auch schon auf mit meinen Ideen.
Kann mir jemand sagen, wie ich hier weiterkomme?
Zu 2. : Auch hier hab ich mir überlegt, dass als Lösung für den Grenzwert k* [mm] x_{0}^{k-1} [/mm] rauskommen muss.
Aber irgendwie hab ich hier gar keine Ahnung wie ich den Nenner wegbekomme.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lati!
Führe eine  Polynomdivision durch.
Oder verwende folgende Gleichheit:
[mm] $$a^n-b^n [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\summe_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}*b^{k}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
vielen Dank für deine Antworten!!
Ich habe jetzt bei Aufgabe 2 die Lösung über den Binomialkoeefizienten versucht:
Könntest du vielleicht nochmal drüberschauen und sagen, ob ich das so machen darf?
[mm] \bruch{x^k-x_{0}^k}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{x-x_{0} * \summe_{i=1}^{k} (x^(k-1-i)) * x_{0}^k}{x-x_{0}} =\summe_{i=1}^{k}x^{k-1-i} [/mm] * [mm] x_{0}^k
[/mm]
[mm] \limes_{ x \rightarrow\ x_{0} } \summe_{i=1}^{k}x^{k-1-i} [/mm] * [mm] x_{0}^k [/mm] = k * [mm] x_{0}^{k-1} [/mm]
Stimmt das so?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo Lati,
einige Verschreiber sind drin, ich schreibs mal in rot rein:
> Hi,
>
> vielen Dank für deine Antworten!!
> Ich habe jetzt bei Aufgabe 2 die Lösung über den
> Binomialkoeefizienten versucht:
> Könntest du vielleicht nochmal drüberschauen und sagen, ob
> ich das so machen darf?
>
> [mm] $\bruch{x^k-x_{0}^k}{x-x_{0}}= \bruch{\red{(}x-x_{0}\red{)} \cdot{} \red{\summe\limits^{k-1}_{i=0}} (x^{k-1-i}) \cdot{} x_{0}^{\red{i}}}{x-x_{0}}$
[/mm]
$ [mm] =\summe_{i=0}^{k-1}x^{k-1-i}\cdot{}x_{0}^{i}$
[/mm]
>
> [mm] $\limes_{ x \rightarrow\ x_{0} } \summe_{i=0}^{k-1}x^{k-1-i}\cdot{}x_{0}^{i}\red{=\sum\limits_{i=0}^{k-1}x_0^{k-1-i+i}=\sum\limits_{i=0}^{k-1}x_0^{k-1}}=k\cdot{}x_{0}^{k-1}$
[/mm]
>
> Stimmt das so?
du meinst es richtig, es ist nur etwas schluderig aufgeschrieben
>
> Vielen Dank!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lati!
Sieh mal hier. Da wurde vor kurzem eine sehr ähnliche Aufgabe behandelt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
auch hier vielen Dank für deine Antwort, ich hab mir die andere Aufgabe durchgelesen und die haben wir auch schon in der Vorlesung behandelt.
Allerdings steh ich irgendwie auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich das jetzt hier gebrauchen kann, da [mm] e^x [/mm] doch nicht [mm] a^x [/mm] ist.
Soll ich jetzt [mm] a^x [/mm] als [mm] (e^x)^{lna} [/mm] schreiben und dann die Exponentialreihe einsetzen oder was meinst du?
Und dann hab ich ja des x im Nenner immer noch nicht weg weil ich kann doch dann hier nicht kürzen oder?
Sorry, dass ich dich nochmal belästigen muss....
Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
Hallo Lati,
ein Beweis über die Potenzreihe erscheint mir arg aufwendig.
Wenn du sie benutzen darfst, führt hier die ![[]](/images/popup.gif) Regel von de l'Hôpital schnell zum Ziel.
Das Umschreiben von [mm] $a^x$ [/mm] in [mm] $e^{x\ln(a)}$ [/mm] ist dabei auch hilfreich.
Eine Anwendung der o.g. Regel führt schon zum Ziel.
Ich stelle deine Frage mal auf teilweise beantwortet, weil dies ja nicht so sehr deine eigentliche Frage beantwortet, sondern eine Alternative aufzeigt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Lati,
> Hi,
>
> auch hier vielen Dank für deine Antwort, ich hab mir die
> andere Aufgabe durchgelesen und die haben wir auch schon in
> der Vorlesung behandelt.
> Allerdings steh ich irgendwie auf dem Schlauch und weiß
> nicht wie ich das jetzt hier gebrauchen kann, da [mm]e^x[/mm] doch
> nicht [mm]a^x[/mm] ist.
> Soll ich jetzt [mm]a^x[/mm] als [mm](e^x)^{lna}[/mm] schreiben und dann die
> Exponentialreihe einsetzen oder was meinst du?
Genau das sollst Du hier machen.
> Und dann hab ich ja des x im Nenner immer noch nicht weg
> weil ich kann doch dann hier nicht kürzen oder?
Von der eingesetzten Reihe wird noch 1 subtrahiert,
und dann beginnt die Reihe bei x.
Daher kannst Du jetzt kürzen.
>
> Sorry, dass ich dich nochmal belästigen muss....
>
> Vielen Dank!!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 08.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi MathePower,
danke für deine Hilfe. Jetzt hab ich also folgendes stehen:
[mm] ((e^x)^{lna} [/mm] -1)/ x = [mm] \bruch{(\summe_{k=0}^{\infty}x^k/ k!) ^{lna} -1}{x}
[/mm]
Jetzt kann ich die Summe noch umschreiben in :
[mm] \bruch{(1+x+x^2/2+x^3/6+...) ^ {lna}-1}{x}
[/mm]
Aber um jetzt hier kürzen zu können oder die 1 wegzubekommen, muss ich doch erstmal des ^lna wegkriegen oder seh ich des irgendwie falsch?
Ich kapiers glaub ich immer noch nicht wie du es genau gemeint hast.
Viele Grüße und danke für deine Hilfe!
|
|
|
| |
|
Tipp: [mm] (e^x)^{\ln{a}}=e^{(x*\ln{a})}
[/mm]
Wenn Du mit diesem Exponenten die Reihe ausschreibst, ist der lästige Exponent an der Summe weg, die 1 fällt wie versprochen weg, und Du kannst alle verbliebenen Glieder durch x kürzen. Dann ist der Grenzwert, den die Lösung angibt, für [mm] x\rightarrow0 [/mm] auch sofort offensichtlich.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Do 08.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
jetzt hab ich's raus. Danke!!! Habt mir wirklich sehr geholfen!!
Viele Grüße
|
|
|
|
