Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Di 09.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x} [/mm] |
Und zwar kann ich ja schreiben...
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\sqrt{x}-x}
[/mm]
Aber ich denke das bringt mich nicht wirklich weiter
Und Bernoulli/de L'Hospital ebenso wenig:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x}
[/mm]
[mm] =\bruch{\infty}{\infty} \to [/mm] Bernoulli/de L'Hospital
[mm] f(x)=e^{\sqrt{x}}=e^u
[/mm]
[mm] u=\sqrt{x}=x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2*\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\sqrt{x}}*e^{\sqrt{x}}=\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] g(x)=e^x
[/mm]
[mm] g'(x)=e^x
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}}}{e^x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}*e^x}
[/mm]
[mm] =\bruch{\infty}{\infty} \to [/mm] Bernoulli/de L'Hospital
[mm] f(x)=e^{\sqrt{x}}=e^u
[/mm]
[mm] u=x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2}*x^{-bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2*\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] g(x)=2*\sqrt{x}*e^x
[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{e^x}{\sqrt{x}}+2*\sqrt{x}*e^x
[/mm]
[mm] =\bruch{e^x+2*x*e^x}{sqrt{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}*\sqrt{x}}{2*\sqrt{x}*e^x*(1+2*x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x*(2+4x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
Wenn ich jetzt weider Bernoulli/de L'Hospital anwende komme ich glaube ich wieder auf [mm] \bruch{\infty}{\infty},
[/mm]
also führt das nicht wirklich zu einem Ergebnis...
Wie gehe ich hier jetzt vor, wenn ich nach n-maligem Anwenden von Bernoulli/de L'Hospital zu keinem Ergebnis komme?
Danke und Gruß,
tedd 
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo tedd,
ich glaube nicht, dass de l'Hôpital hier eine günstige Wahl ist.
Deine erste Idee ist da schon besser 
Es ist ja $\frac{e^{\sqrt{x}}}{e^x}=e^{\sqrt{x}-x}$
Nun ist die Exponentialfunktion ja stetig, also picke dir mal den Exponenten
$\sqrt{x}-x$ heraus und betrachte $\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x}-x)$
Tipp dazu: erweitere mit $\blue{\sqrt{x}+x}$ ...
Den GW, den du dann bekommst, musst du dann in die e-Funktion packen, also $e^{GW}$
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist $\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{\sqrt{x}-x}}\right)=e^{\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x}-x)}$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Di 09.09.2008 | | Autor: | tedd |
Hey schachuzipus,
danke für die Antwort...
Nun gut ich muss irgendwas falsch gemacht haben denn ich komm hier auch auf keinen bestimmten GW:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{x}-x
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\sqrt{x}-x)*(\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}+x}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x-x^2}{\sqrt{x}+x}
[/mm]
Ich denke hier fehlt mir ein weiterer Shritt zur vereinfachung denn wenn ich Bernoulli/de L'hospital anwende komme ich wieder auf einen [mm] Grenzwert=\infty.
[/mm]
Hmmm![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Di 09.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hey schachuzipus,
> danke für die Antwort...
> Nun gut ich muss irgendwas falsch gemacht haben denn ich
> komm hier auch auf keinen bestimmten GW:
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{x}-x[/mm]
Vielleicht ist es so besser:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x}-x)[/mm]
= [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}(t-t^2)[/mm] = - [mm] \infty.
[/mm]
Das letzte "=" - Zeichen sieht man so: [mm] t-t^2 [/mm] ist eine nach unten geöffnete Parabel.
FRED
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\sqrt{x}-x)*(\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}+x}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x-x^2}{\sqrt{x}+x}[/mm]
>
> Ich denke hier fehlt mir ein weiterer Shritt zur
> vereinfachung denn wenn ich Bernoulli/de L'hospital anwende
> komme ich wieder auf einen [mm]Grenzwert=\infty.[/mm]
>
> Hmmm
>
> Gruß,
> tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 09.09.2008 | | Autor: | tedd |
Achso ja ich bin durch Bernoulli/de L'Hospital auch auf $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x}-x) $=-\infty [/mm] gekommen..
Also
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{\sqrt{x}-x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-\infty}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{\infty}}
[/mm]
=0 ?
Der Grenzwert müsste stimmen.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
Hallo tedd,
> Achso ja ich bin durch Bernoulli/de L'Hospital auch auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x}-x)[/mm][mm] =-\infty[/mm]
> gekommen..
>
> Also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\sqrt{x}-x}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-\infty}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{\infty}}[/mm]
>
> =0 ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Der Grenzwert müsste stimmen.
Ja, das tut er
Kurz zur Umformung bei deiner vorherigen Frage:
[mm] $\frac{x-x^2}{\sqrt{x}+x}=\frac{x\cdot{}(1-x)}{x\cdot{}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}$
[/mm]
x kürzen und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}$ [/mm] liefert [mm] $\frac{-\infty}{1}=-\infty$
[/mm]
>
> Danke und Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Di 09.09.2008 | | Autor: | tedd |
Hey schachuzipus,
Danke für den Tip!
Ich hatte x ausklammern probiert aber wusste nicht wie ich das im Nenner hinkriege aber ist ja jetzt klar!
[mm] (x+\sqrt{x})=x*(1+\bruch{1}{\sqrt{x}})
[/mm]
denn [mm] \bruch{x}{\sqrt{x}}=\bruch{x^1}{x^{\bruch{1}{2}}}=x^1*x^{-\bruch{1}{2}}=x^{1-\bruch{1}{2}}=x^{\bruch{1}{2}}=\sqrt{x}
[/mm]
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Dann wäre die Aufgabe doch eigentlich geklärt.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
|
