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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt{n*(n+1)}-n} [/mm] |
Der Grenzwert müsste 2 sein.
Ich hätte es eigtl so gemacht aber es stimmt nicht und ich weis nicht wieso:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt{n*(n+1)}-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n*(n+1)}-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2*(1+\bruch{1}{n})}-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}n*\sqrt{(1+\bruch{1}{n})}-n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{(1+\bruch{1}{n})}-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\sqrt{\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})}-\limes_{n\rightarrow\infty}1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\sqrt{(1+0)}-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{0}
[/mm]
!?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt{n*(n+1)}-n}[/mm]
> Der Grenzwert müsste 2 sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hätte es eigtl so gemacht aber es stimmt nicht und ich
> weis nicht wieso:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt{n*(n+1)}-n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n*(n+1)}-n}[/mm]
Das darfst du nur machen, wenn der Limes des Nenners auch existiert, tut er das?
Wenn du Grenzwerte vertauschst, musst du das immer begründen, wir hatten doch vorhin mal ein Bsp. , wo der GW 1 war, beim "Auseinanderrupfen" aber [mm] $0\cdot{}\infty$ [/mm] herauskam ...
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2*(1+\bruch{1}{n})}-n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}n*\sqrt{(1+\bruch{1}{n})}-n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{(1+\bruch{1}{n})}-1}[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") wohin ist das n verschwunden? Du hast es ausgeklammert, ok, aber wo ist es hin?
>
> [mm]=\bruch{1}{\sqrt{\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})}-\limes_{n\rightarrow\infty}1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\sqrt{(1+0)}-1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das wäre $\infty$ , also nicht gerade 2 
> !?
>
> Danke und Gruß,
> tedd
>
Bei derartigen Differenzen oder Summen von Wurzeln, empfiehlt es sich sehr sehr oft, so zu erweitern, dass du die 3. binomische Formel hinbastelst und so die fiesen Wurzeln wegbekommst.
So auch hier:
Erweitere $\bruch{1}{\sqrt{n\cdot{}(n+1)}-n}$ mit $\sqrt{n\cdot{}(n+1)}\red{+}n$
Dann bekommst du:
$\bruch{1}{\sqrt{n\cdot{}(n+1)}-n} =\frac{\blue{\sqrt{n\cdot{}(n+1)}+n}}{(\sqrt{n\cdot{}(n+1)}-n)\cdot{}\blue{(\sqrt{n\cdot{}(n+1)}+n)}} }}$
$=\frac{\sqrt{n(n+1)}+n}{n(n+1)-n^2}$
das ist die 3. bin. Formel im Nenner ...
Nun mach mal weiter ... mit Umformungen ähnlich deinen oben
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Achso...
Ja stimmt, das mit der Aufgabe von vorhin hätte mir eigentlich zu denken geben müssen.
Ich habe im Nenner dann "einfach" durch n dividiert, daher ist es auch verschwunden, aber ich weis ja jetzt, dass das falsch war.
$ [mm] \frac{\sqrt{n(n+1)}+n}{n(n+1)-n^2} [/mm] $
[mm] =\bruch{\sqrt{n^2+n}+n}{n^2+n-n^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sqrt{n^2*(1+\bruch{1}{n})}+n}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1)}{n}
[/mm]
[mm] =\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1
[/mm]
und dazu der Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1
[/mm]
Kann ich jetzt einfach Auseinanderrupfen weil ich weis, dass beide konvergieren?
[mm] =\sqrt{
\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})}+\limes_{n\rightarrow\infty}1
[/mm]
[mm] =\sqrt{1+0}+1
[/mm]
=2
Das wär ja dann auch das was rauskommen soll 
Danke und Gruß,
tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Super!
Danke für deine Hilfe schachuzipus.
Das weis ich sehr zu schätzen und bin dir sehr dankbar.
Gruß,
tedd
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
