www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert
Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mo 07.07.2008
Autor: bigalow

Aufgabe
Geben Sie den Grenzwert der folgenden Reihe -falls er existiert- an:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k²-3} [/mm]

Ich bin soweit gekommen zu sagen, dass die Reihe konvergiert, da die konvergente Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k²} [/mm] eine Majorante zu dieser Funktion ist. Wie aber berechne ich den konkreten Grenzwert dieser Reihe?

Besten Dank im Voraus für eure Antworten!
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Mo 07.07.2008
Autor: angela.h.b.


> Geben Sie den Grenzwert der folgenden Reihe -falls er
> existiert- an:
>  [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k²-3}[/mm]
>  Ich bin soweit gekommen zu sagen, dass die Reihe
> konvergiert, da die konvergente Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k²}[/mm] eine Majorante zu dieser
> Funktion ist. Wie aber berechne ich den konkreten Grenzwert
> dieser Reihe?

Hallo,

ich würde da mal folgendes versuchen:

[mm] \frac{1}{12k²-3}=\frac{1}{3}*\frac{1}{2k-1}*\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3*}(\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1}). [/mm]

Vielleicht kommst Du damit weiter.

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Mo 07.07.2008
Autor: bigalow

Danke erstmal :)

Also wenn ich die Gleichung dann mit 3 durchmultipliziere komme ich per Koeffizientenvergleich auf:

A+B=0
A-B=3

->A=3/2 ; B=-3/2

Und habe damit meine Reihe [mm] \frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2}) [/mm]

Und das ist ja eine Teleskopsumme.Also [mm] \frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2})= \frac{1}{3}(\frac{3}{2}-\frac{3}{4k+2}) [/mm]

[mm] \frac{3}{4k+2} [/mm] geht gegen 0 wenn k gegen [mm] \infty [/mm] strebt, also verbleibt noch [mm] \frac{1}{3}*\frac{3}{2}=\frac{1}{2} [/mm]

Hatte mir irgendwo aufgeschrieben das die Lösung 1/6 ist. Wo liegt mein Fehler?
Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Mo 07.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo bigalow,

> Danke erstmal :)
>  
> Also wenn ich die Gleichung dann mit 3 durchmultipliziere [kopfkratz3]
> komme ich per Koeffizientenvergleich auf:
>  
> A+B=0
>  A-B=3 [notok]
>  
> ->A=3/2 ; B=-3/2 [notok]

Du musst nicht mit 3 durchmultiplizieren, den Vorfaktor [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] denke dir mal für einen Moment als aus der Reihe gezogen und davorgeschrieben.

Du musst hiervon [mm] $\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm] die PBZ machen gem. Angelas Ansatz

[mm] $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{1}{2k+1}$ [/mm]

Hier gleichnamig machen und im entstehenden Zähler nach Potenzen von k sortieren:

[mm] $=\frac{A(2k+1)+B(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k(2A+2B)+(A+B)}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm]

Das nun vergleichen mit [mm] $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm]

Dann mal eine n-te Partialsumme hinschreiben und du wirst sehen, dass alles gut wird ;-)

>  
> Und habe damit meine Reihe
> [mm]\frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2})[/mm]
>  
> Und das ist ja eine Teleskopsumme.Also
> [mm]\frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{3}{4k-2}-\frac{3}{4k+2})= \frac{1}{3}(\frac{3}{2}-\frac{3}{4k+2})[/mm]
>  
> [mm]\frac{3}{4k+2}[/mm] geht gegen 0 wenn k gegen [mm]\infty[/mm] strebt,
> also verbleibt noch [mm]\frac{1}{3}*\frac{3}{2}=\frac{1}{2}[/mm]
>  
> Hatte mir irgendwo aufgeschrieben das die Lösung 1/6 ist.
> Wo liegt mein Fehler?

In der Koeffizientenberechnung bei der PBZ


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mo 07.07.2008
Autor: bigalow

Mit A=1/2 und B=-1/2 komme ich auf das richtige Ergebnis.

Super :)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]