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| Aufgabe | a(n) (n Element N) = (1+2²+...+n²)/n³ mit Grenzwert a.
Gebe für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/1000 ein n(0) an, sodass für alle n>= n(0) gilt:
[mm] |a(n)-a|<\varepsilon. [/mm] |
1. Grenzwert berechnen:
a(n) = (n(n+1)(2n+1))/6 / n³ = ... = (2 + 3/n + 1/n²) / 6
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] a(n) = 1/3
2. n(0) bestimmen:
|(2 + 3/n + 1/n²)/6 - 1/3| < 1/1000
|(3n+1)/n²| < 3/500
Ist das bis dahin korrket?
Ich hätte dann mögl. eine pq-Formel zu lösen, oder?
|-3/500 n² + 3n + 1| < 0
Gruß,
Max 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 29.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Das sieht alles schon recht ordentlich aus.
Nur am Ergebnis gibts noch etwas zu meckern.
> |-3/500 n² + 3n + 1| < 0
Betrag von Irgendetwas ist kleiner als 0 ?
Das dürfte schwer werden. Demnach findest du kein [mm] n_0 \Rightarrow [/mm] Ungut !
Richtiger wäre dann doch :
[mm] -\frac{3}{500}n^2+|3n+1|<0
[/mm]
Warum ? Was macht man mit dem Betrag ?
Und : Ab welchem n gilt dies ?
Ciao.
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Alles klar, danke.
$ [mm] -\frac{3}{500}n^2+|3n+1|<0 [/mm] $
Da n ja eh Element N ist, kann man aber da doch sicher die Betragsstriche weglassen, oder?
Dann hätte ich durch (-3/500) geteilt:
n² - 500n - 500/3 <0
Das sieht dann nach pq-Formel aus, oder kann man diese für Ungleichungen nicht benutzen?
n1,2 < 250 +/- [mm] \wurzel{250² - 500/3}
[/mm]
n1,2 < 250 +/- 250,3331114...
Dann hätte ich:
n1 < 500,3331114...
n2 < -0,333111407
n2 könnte ich dann ausschließen, da n ja nicht negativ sein kann.
Aber was sagt mir das Ergebnis bei n1 jetzt genau?
Dass n0 500 beträgt? Oder ist das <-Zeichen falschrum und es muss > heißen, weil ich ja einmal beide Seiten durch (-1) geteilt habe.
Dann würde das schon mehr Sinn machen, und n0 wäre 501?
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Hallo Morgenroth,
> Alles klar, danke.
>
> [mm]-\frac{3}{500}n^2+|3n+1|<0[/mm]
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> Da n ja eh Element N ist, kann man aber da doch sicher die
> Betragsstriche weglassen, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann hätte ich durch (-3/500) geteilt:
> n² - 500n - 500/3 <0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du eine Unngleichung mit was Negativem multiplizierst bzw. durch was Negatives dividierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!!
Du bekommst also: [mm] $n^2-500n-\frac{500}{3} [/mm] \ [mm] \blue{>} [/mm] \ 0$
>
> Das sieht dann nach pq-Formel aus, oder kann man diese für
> Ungleichungen nicht benutzen?
>
> n1,2 < 250 +/- [mm]\wurzel{250² - 500/3}[/mm]
> n1,2 < 250 +/-
> 250,3331114...
>
> Dann hätte ich:
> n1 < 500,3331114...
> n2 < -0,333111407
>
> n2 könnte ich dann ausschließen, da n ja nicht negativ sein
> kann.
> Aber was sagt mir das Ergebnis bei n1 jetzt genau?
> Dass n0 500 beträgt? Oder ist das <-Zeichen falschrum und
> es muss > heißen, weil ich ja einmal beide Seiten durch
> (-1) geteilt habe.
ganz genau
$-4<-2$, aber dann $4>2$
> Dann würde das schon mehr Sinn machen, und n0 wäre 501?
Jo, das würde ich auch meinen
>
Gruß
schachuzipus
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