Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 14.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Zeige das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n^2} [/mm] = 0 |
Ich habe einfach den Bruch mit n gekürzt:
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{n} [/mm] und dann ist das klar, dass dies gegen 0 konvergiert.
Stimmt das aber wirklich? Ich kann mir nähmlich fast nicht vorstellen, dass dies so einfach sein kann.... 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch das ist richtig, wenn ihr irgendwann bewiesen habt dass 1/n ne Nullfolge ist. sonst musst du ein N angeben ab dem [mm] 1/n<\varepsilon [/mm] ist und dazu das Archimedesaxiom benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 14.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo Leduart,
Vielen Dank für die rasche Antwort.
Ja den Grenzwert von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] haben wir gezeigt. Der ist mir klar.
Aber ich hätte nun noch eine andere Frage:
Beweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}} [/mm] = [mm] \infty [/mm] für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 0.
Hier habe ich absolut keine Ahnung, wie man dies zeigen kann. Eventuell mit einem Widerspruchsbeweis mit Hilfe der Definition von Konvergenz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Aber ich hätte nun noch eine andere Frage:
>
> Beweise: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm] für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = 0.
>
> Hier habe ich absolut keine Ahnung, wie man dies zeigen
> kann. Eventuell mit einem Widerspruchsbeweis mit Hilfe der
> Definition von Konvergenz?
Vors: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = 0.
Beh: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}} = \infty[/mm]
gleichbedeutend mit : zu jeder Zahl [mm] r\in \IR [/mm] gibt es ein N so dass [mm] 1/x_n>r [/mm] für alle n>N
die Vors. sagt aber ...
Dann wieder Archimedesaxiom und fertig ist der Beweis. allerdings , wenn alle [mm] x_n<0 [/mm] konvergiert [mm] 1/x_n [/mm] gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 17.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
> zu jeder Zahl [mm]r\in \IR[/mm] gibt es ein N
> so dass [mm]1/x_n>r[/mm] für alle n>N
> die Vors. sagt aber ...
> Dann wieder Archimedesaxiom und fertig ist der Beweis.
>
Die Voraussetzung sagt aber, dass [mm] |x_{n} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also [mm] x_{n} [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wie muss ich aber dann mit dem Archiidischen Axiom genau weiterfahren...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 17.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie musst du denn [mm] \epsilan [/mm] haben, damit [mm] x_n>r?
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Fr 18.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
Sei [mm] x_{n} [/mm] > r.
Also gilt für alle n [mm] \ge [/mm] N [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] x_{n} [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
Für alle n [mm] \ge [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] folgt:
[mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
also ist [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] konvergent was aber ein Widerspruch mit der Behauptung ist. Also muss [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] divergent sein.
Stimmt dieser Weg so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 18.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich finde den Widerspruchsbeweis zu umständlich.
Warum nicht direkt.
[mm] limx_n=0 [/mm] heisst zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein N mit [mm] |xn|<\varepsilon [/mm] für n>N
daraus: [mm] 1/|xn|>1/\varepsilon [/mm]
nach Arch. Axiom gibt es zu jedem r>0 ein [mm] \varepsilon [/mm] mit [mm] 1/\varepsilon>r
[/mm]
daraus folgt, es gibt ein [mm] N_0(r) [/mm] mit 1/|xn|>r für beliebige r.
Fertig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 18.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
Ja auf diese Weise ists wirklich einfacher.
Vielen Dank!!!!
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