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Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mi 18.07.2007
Autor: Bengel777

Aufgabe
Stellen Sie fest, ob die angegebenen Folgen konvergieren und geben Sie für die konvergenten Folgen den Grenzwert an
[mm] a_n=\wurzel{4n^2-5n+2}-2n [/mm]

Also angeblich soll da ja -5/4 rauskommen aber ich kann den seinen Ausführungen nicht Folgen. Also fals jemand Lust und Zeit hat mir den Lösungsweg mal aufzuschreiben das wäre toll

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mi 18.07.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Nadine,

erweitere doch mal den Ausdruck so, dass du die Wurzel mit der 3. binomischen Formel raushauen kannst.

Also mit [mm] \frac{\sqrt{4n^2-5n+2}\red{+}2n}{\sqrt{4n^2-5n+2}\red{+}2n} [/mm]

Dann erhältst du:

[mm] \sqrt{4n^2-5n+2}-2n=\frac{\left(\sqrt{4n^2-5n+2}-2n\right)\cdot{}\left(\sqrt{4n^2-5n+2}+2n\right)}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n} [/mm]

[mm] =\frac{4n^2-5n+2-4n^2}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n}=\frac{-5n+2}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n} [/mm]

Nun klammere mal unter der Wurzel [mm] 4n^2 [/mm] aus und ziehe es anschließend aus der Wurzel....

Dann noch im Zähler und Nenner n ausklammen und den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] angucken

Dann siehste das mit dem GW [mm] -\frac{5}{4} [/mm]

LG

schachuzipus

Bezug
                
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Grenzwert: Frage1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 18.07.2007
Autor: Bengel777

Aufgabe
hmm

Aber wieso ist unter dem bruchstrich dann am ende aber +2n obwohl es doch  in der Aufgabenstellung ne -2n ist??
Ich bin einfach zu blöd für folgen

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Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mi 18.07.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

steht doch oben ;-)

Wir haben den Wurzelausdruck ja mit [mm] {\sqrt{4n^2-5n+2}\red{+}2n} [/mm]  im Zähler [mm] \underline{und} [/mm] Nenner erweitert, also quasi eine 1 dranmultipliziert

Dadurch haben wir im Zähler die 3. binomische Formel hingebastelt und mussten dafür den Wurzelausdruck im Nenner in Kauf nehmen, aber mit [mm] \red{+} [/mm] wegen der obigen Erweiterung!!


Nun klarer? Sonst frag ruhig nochmal nach


Gruß

schachuzipus

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Grenzwert: Frage2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mi 18.07.2007
Autor: Bengel777

Jo also das is mir jetzt klar geworden ;-)
aber was ich jetzt noch weiter nicht verstehe ist wen ich die [mm] 4n^2 [/mm] aus der wurzel ziehe was mir das bringt steig da nich dahinter...
und dann wenn ich n ausklammer komm ich nich auf -5/4 weil da ja unterm strich -5 und +2 trotzdem steht und das is doch nich vier oder etwa doch

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Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 18.07.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Nadine,

schreib mir mal deinen erweiterten und zusammengefassten Ausdruck auf, dann helfe ich dir weiter beim Ausklammern von [mm] 4n^2 [/mm] und bei der weiteren Rechnung, aber ich werde nicht alles vormachen...

Also zeig her, was du hast ;-)


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mi 18.07.2007
Autor: Bengel777

Aufgabe
[mm] \bruch{n8-5+2}{n\wurzel{4n^2-5n+2}+2n} [/mm]

sowas hab ich raus und da bleib ich hängen und komme wie gesagt nicht auf die -5/4 also ein paar nullfolgen krieg ich ja raus aber nich so viele das es zum endergebnis reicht

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mi 18.07.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

wie kommst du auf den Zähler?

In einem der oberen posts waren wir nach der Erweiterung bei

[mm] \frac{-5n+2}{\sqrt{4n^2-5n+2}+2n} [/mm]

Hier klammern wir [mm] 4n^2 [/mm] unter der Wurzel aus:

[mm] =\frac{-5n+2}{\sqrt{4n^2\left(1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}\right)}+2n} [/mm]

Nun die [mm] 4n^2 [/mm] unter der Wurzel rausholen (n>0!!)

[mm] =\frac{-5n+2}{2n\sqrt{1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}}+2n} [/mm]

Nun n im Zähler und Nenner ausklammern:

[mm] =\frac{n\left(-5+\frac{2}{n}\right)}{n\left(2\sqrt{1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}}+2\right)} [/mm]

Noch n kürzen:

[mm] =\frac{-5+\frac{2}{n}}{2\sqrt{1-\frac{5}{4n}+\frac{1}{2n^2}}+2} [/mm]

Hier nun [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen

[mm] \longrightarrow \frac{-5+0}{2\sqrt{1-0+0}+2}=\frac{-5}{4} [/mm]


LG

schachuzipus

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Grenzwert: Antwort1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mi 18.07.2007
Autor: Bengel777

Hui das war ne schwere geburt aber ich glaub es hat klick gemacht ;-)
Nur noch eine kleine Frage die 1 die in der Wurzel bleibt beachte ich dann nich weiter?

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mi 18.07.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

das ist ja ein munteres Hin- und Her ;-)

beim Grenzübergang wird der Wurzelausdruck ja zu [mm] \sqrt{1-0+0}=\sqrt{1}=1 [/mm]

Also tut der in dem Produkt der Grenzwerte nicht weh ;-)


Gruß

schachuzipus

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Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Mi 18.07.2007
Autor: Bengel777

Ok danke,

du bist ein schatz ich könnt dich knutschen

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