Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mo 12.02.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich habe die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] und will zeigen, dass sie konvergiert und den grenzwert ausrechnen!
also die reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)} [/mm] ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1} [/mm] = 1
aber ich hab keine ahnung wie ich den grenzwert für die erste reihe rausbekomm!
also entweder muss ich die reihe mit der geometrischen vergleichen, weiss aber nicht wie oder ich bekomm wie bei der zweiten die zugehörige folge raus schaff ich aber auch nicht.
vielen dank für eure hilfe
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Hallo vivo!
Die eigentliche Konvergenz kannst Du z.B. über das Majorantenkriterium über [mm] $\summe\bruch{1}{k^3}$ [/mm] führen.
Für den Grenzwert zerlegst Du am besten die Reihe in eine sogenannte "Teleskopsumme" mittels  Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+1}+\bruch{C}{n+2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 12.02.2007 | | Autor: | vivo |
Vielen Dank für deine Antwort!
ich hab mir das zur partialbruchzerlegung jetzt mal angesehen!
so jetzt muss ich doch den hauptnenner bilden also
A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1) das ist doch jetzt der Zähler, oder?
und jetzt durch Koeffizientenvergleich A,B und C ermitteln, aber irgendwie bekomm ich das nicht hin!
wäre dankbar wenn mir da noch mal jemand auf die sprünge helfen könnte!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 12.02.2007 | | Autor: | vivo |
ok ok habs glaub ich hinbekommen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{n}+\bruch{-1}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2}
[/mm]
so und jetz? jetz muss ich irgendwie den grenzwert errechenen
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Hallo vivo!
> ok ok habs glaub ich hinbekommen: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{n}+\bruch{-1}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klammere hier zunächst [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aus und ziehe die Summe auseinander. Wenn Du dann die ersten Glieder einsetzt, solltest Du sehen, dass sich fast alle Glieder eliminieren und nur wenige Glieder verbleiben:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{n}-\bruch{2}{n+1}+\bruch{1}{n+2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\left[\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)-\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}\right)\right] [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Hi Vivo,
ich habe es gerade mit der gleichen Aufgabe zu tun, komme aber bei der Partialbruchzerlegung auf ein anderes Ergebnis für den ersten Bruch.
Anstatt 1/2 habe ich hier 3/2. Habe es mit zwei Tools kontrolliert, prüfe daher vielleicht nochmal auf Rechenfehler
Grüße Jan
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> Hi Vivo,
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> ich habe es gerade mit der gleichen Aufgabe zu tun, komme
> aber bei der Partialbruchzerlegung auf ein anderes Ergebnis
> für den ersten Bruch.
> Anstatt 1/2 habe ich hier 3/2. Habe es mit zwei Tools
> kontrolliert, prüfe daher vielleicht nochmal auf
> Rechenfehler
>
> Grüße Jan
Hi Jan,
die PBZ von vivo ist richtig:
[mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+1}+\bruch{C}{n+2}=\bruch{A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1)}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(An+A)(n+2)+Bn^2+2Bn+Cn^2+Cn}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{An^2+3An+2A+Bn^2+2Bn+Cn^2+Cn}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2(A+B+C)+n(3A+2B+C)+2A}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
Koeffizientenvergleich [mm] \Rightarrow [/mm] A+B+C=0 [mm] \wedge [/mm] 3A+2B+C=0 [mm] \wedge [/mm] 2A=1
[mm] \Rightarrow A=\bruch{1}{2}.....
[/mm]
Du hast dich also irgendwo verrechnet ;)
Gruß
schachuzipus
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Sorry, sorry, sorry ;)
Musste feststellen, dass wir doch nicht ganz die gleichen Aufgaben haben, bei mir steht im Nenner n + 3 ...
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Hallo vivo!
> so jetzt muss ich doch den hauptnenner bilden also
>
> A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1) das ist doch jetzt der
> Zähler, oder?
Multipliziere nun die Klammern aus und sortiere nach [mm] $n^2$ [/mm] bzw. $n_$ und Absolutglied.
Dies stellst Du dann mittels Koeffizientenvergleich gegenüber:
[mm] $\red{...}*n^2+\blue{...}*n+\green{...} [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \red{0}*n^2+\blue{0}*n+\green{1}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 12.02.2007 | | Autor: | vivo |
so also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{n}+\bruch{-1}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2}
[/mm]
jetzt ist es ja eine teleskopsumme in der das dritte glied der ersten summe zusammen mit dem zweiten glied der zweiten summe und dem ersten glied der dritten summe 0 ergibt!
also bleibt das 1 und 2 glied der ersten summe und das 1 glied der zweiten summe übrig.
und das 3 glied der n-1 summe und das zweite und dritte glied der n summe.
also ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{n}+\bruch{-1}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2}
[/mm]
= 0,25 + [mm] \bruch{0,5}{n+1}+\bruch{-1}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2} [/mm] =
[mm] 0,25+\bruch{-0,5}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}0,25+\bruch{-0,5}{n+1}+\bruch{0,5}{n+2} [/mm] = 0,25
ist das richtig????????????????????????????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:08 Di 13.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du bis [mm] \infty [/mm] addierst kannst du die letzten gleich weglassen.
das Ergebnis ist richtig!
Gruss leduard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 13.02.2007 | | Autor: | vivo |
mal so ganz allgemein:
wenn ich eine reihe habe und den grenzwert ausrechnen will dann schau ich erstmal ob sie konvergiert, dies mach ich mit hilfe einer konvergenten majorante, einer divergenten minorante, über das Quotientenkriterium, Wurzelkriterium oder Verdichtungskriterium
gibt es noch mehr Möglichkeiten???????????
und dann versuch ich den Grenzwert zu berechnen dies ist möglich in dem ich entweder einer reihe die kleiner und eine die größer als meine ist die beide gegen den gleichen gw, indem ich so wie oben eine teleskopsumme bilden kann oder ich bring die reihe irgendwie in die form einer geometrischen
was gibt es hier noch für möglichlkeiten?????????????? ist irgendwas falsch an meinen aussagen
vielen dank für eure Antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Di 13.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles, was du geschrieben hast ist richtig!
Zum 1. Wenn du ne Summe irgendwie vermutest oder ausgerechnet hast, kannst du auch ohne eins der Kriterien Konvergenz mit [mm] \varepsilon, [/mm] N manchmal direkt beweisen. Ginge z. Bsp. in dem Fall der Teleskopsumme.
Aber die ueblichen Verfahren hast du alle aufgezaehlt.
Gruss leduart
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